關於線性關係，r、r 平方和殘差標準差告訴我們什麼？

一點背景

我正在研究回歸分析的解釋，但我對 r、r 平方和殘差標準差的含義感到非常困惑。我知道定義：

表徵

r 測量散點圖上兩個變量之間線性關係的強度和方向

R平方是數據與擬合回歸線的接近程度的統計量度。

殘差標準差是一個統計術語，用於描述圍繞線性函數形成的點的標準差，是對被測因變量準確度的估計。（不知道單位是什麼，這裡有關於單位的任何信息都會有幫助）

（來源：這裡）

問題

雖然我“理解”了這些特徵，但我確實理解這些術語如何共同得出關於數據集的結論。我將在此處插入一個小示例，也許這可以作為回答我的問題的指南（請隨意使用您自己的示例！）

示例

這不是一個很好的問題，但是我在我的書中搜索了一個簡單的示例（我正在分析的當前數據集過於復雜和龐大，無法在此處顯示）

在一大片玉米地中隨機選擇了 20 個地塊，每個 10 x 4 米。對於每個小區，觀察植物密度（小區中的植物數量）和平均玉米芯重量（每玉米芯的克數）。結果如下表所示：（
來源：生命科學統計）

╔═══════════════╦════════════╦══╗
║ Platn density ║ Cob weight ║  ║
╠═══════════════╬════════════╬══╣
║           137 ║        212 ║  ║
║           107 ║        241 ║  ║
║           132 ║        215 ║  ║
║           135 ║        225 ║  ║
║           115 ║        250 ║  ║
║           103 ║        241 ║  ║
║           102 ║        237 ║  ║
║            65 ║        282 ║  ║
║           149 ║        206 ║  ║
║            85 ║        246 ║  ║
║           173 ║        194 ║  ║
║           124 ║        241 ║  ║
║           157 ║        196 ║  ║
║           184 ║        193 ║  ║
║           112 ║        224 ║  ║
║            80 ║        257 ║  ║
║           165 ║        200 ║  ║
║           160 ║        190 ║  ║
║           157 ║        208 ║  ║
║           119 ║        224 ║  ║
╚═══════════════╩════════════╩══╝

首先，我將製作一個散點圖來可視化數據： 因此我可以計算 r、R 2和殘差標準差。 首先是相關性檢驗：

   Pearson's product-moment correlation

data: X and Y
t = -11.885, df = 18, p-value = 5.889e-10
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.9770972 -0.8560421
sample estimates:
cor 
-0.9417954 

其次是回歸線的總結：

Residuals:
   Min      1Q  Median      3Q     Max 
-11.666  -6.346  -1.439   5.049  16.496 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 316.37619    7.99950   39.55  < 2e-16 ***
X            -0.72063    0.06063  -11.88 5.89e-10 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 8.619 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.887, Adjusted R-squared:  0.8807 
F-statistic: 141.3 on 1 and 18 DF,  p-value: 5.889e-10

所以基於這個測試：r = -0.9417954, R-squared: 0.887和殘差標準誤差：8.619 這些值告訴我們關於數據集的什麼？（見問題）

這些統計數據可以告訴您關係是否存在線性分量，但不能告訴您關係是否嚴格線性。具有較小二次分量的關係可以具有 0.99 的 r^2。作為預測函數的殘差圖可以揭示。在伽利略的實驗中https://ww2.amstat.org/publications/jse/v3n1/datasets.dickey.html相關性非常高，但關係顯然是非線性的。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/252435