為什麼我不能通過 XX' 和 X’X 的特徵值分解獲得 X 的有效 SVD？

我正在嘗試手動進行 SVD：

m<-matrix(c(1,0,1,2,1,1,1,0,0),byrow=TRUE,nrow=3)

U=eigen(m%*%t(m))$vector
V=eigen(t(m)%*%m)$vector
D=sqrt(diag(eigen(m%*%t(m))$values))

U1=svd(m)$u
V1=svd(m)$v
D1=diag(svd(m)$d)

U1%*%D1%*%t(V1)
U%*%D%*%t(V)

但是最後一行沒有返回m。為什麼？它似乎與這些特徵向量的符號有關……還是我誤解了程序？

問題分析

矩陣的 SVD 從來都不是唯一的。讓矩陣有尺寸並讓它的 SVD 為

為矩陣具有正交列，對角線矩陣具有非負條目，以及矩陣與正交列。

現在任意選擇任何對角線矩陣有s 在對角線上，所以是個身份. 然後

也是一個SVD因為

演示具有正交列，類似的計算表明具有正交列。此外，由於和是對角線的，他們通勤，從哪裡來節目仍然有非負條目。 代碼中實現的查找 SVD 的方法找到了對角化

同樣，一個對角化 它繼續計算根據在中找到的特徵值. 問題是這不能保證列的一致匹配與列.

一個解法

相反，在找到這樣一個和這樣一個, 用它們來計算

直接有效。 這個的對角線值不一定是積極的。 （那是因為對角化的過程也沒有要么這將保證，因為這兩個過程是分開進行的。）通過選擇沿對角線的條目使它們為正等於條目的符號， 以便具有所有正值。通過右乘來補償這一點經過：

那是一個SVD。

例子

讓和. SVD 是

和,， 和.

如果你對角化你自然會選擇和. 同樣，如果你對角化你會選擇. 很遺憾，

相反，計算 因為這是負數，所以設置. 這調整到和到. 你已經獲得這是兩個可能的 SVD 之一（但與原始的不同！）。

代碼

這是修改後的代碼。它的輸出證實

1. 該方法m正確地重新創建。
2. 和真的還是正交的。
3. 但結果與返回的 SVD 不同svd。（兩者同樣有效。）

m <- matrix(c(1,0,1,2,1,1,1,0,0),byrow=TRUE,nrow=3)

U <- eigen(tcrossprod(m))$vector
V <- eigen(crossprod(m))$vector
D <- diag(zapsmall(diag(t(U) %*% m %*% V)))
s <- diag(sign(diag(D)))  # Find the signs of the eigenvalues
U <- U %*% s              # Adjust the columns of U
D <- s %*% D              # Fix up D. (D <- abs(D) would be more efficient.)

U1=svd(m)$u
V1=svd(m)$v
D1=diag(svd(m)$d,n,n)

zapsmall(U1 %*% D1 %*% t(V1)) # SVD
zapsmall(U %*% D %*% t(V))    # Hand-rolled SVD
zapsmall(crossprod(U))        # Check that U is orthonormal
zapsmall(tcrossprod(V))       # Check that V' is orthonormal

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/259890