為什麼當我對結果變量進行日誌轉換時，我的空模型的截距不等於平均值？我如何解釋它？

我有一個右偏的結果變量，所以我對它進行了日誌轉換。我製作了一個只有對數轉換結果變量的空模型，但是當我對估計值求冪時，它不等於平均值。

考慮到我的數據有問題，我製作了一個樣本數據集，發現了同樣的差異。為什麼是這樣？在這個模型中截距代表什麼？

這是示例數據和 R 代碼：

library(tidyverse)
test <- tibble(salary = c(10000, 23244, 2222222, 2353, 2353463, 5464564),
              perf = c(4, 2, 4, 2, 5, 7))

這是我的空模型：

summary(lm(log(salary) ~ 1 , data = test))

截距等於 11.971，當我使用 exp(11.971) 時，我得到 158102.7：

exp(11.971)

但平均值為 1679308：

mean(test$salary)

而且，作為健全性檢查，當我不記錄轉換結果時，截距確實會產生平均值：

summary(lm(salary ~ 1 , data = test))

我很感激 1）如何解釋截距，2）為什麼它不等於平均值，以及 3）我如何從這個模型中獲得非對數預測。

這是Jensen 不等式的結果。你要 $ E[y|x] $ ，但對數模型中的預測值求冪不會提供無偏估計 $ E[y|x] $ ， 作為$$ E[y_i|x_i] = \exp(x'\beta) \cdot E[\exp(u_i)] $$並且在您的計算中省略了第二項。

如果誤差項 $ u \sim N[0,\sigma^2] $ ， 然後 $ E[\exp(u)] = \exp(\frac{1}{2}\sigma^2) $ . 該數量可以通過替換來估計 $ \sigma^2 $ 以其一致的估計 $ s^2 $ 從回歸模型。

或者，Duan (1983) 表明，對於 $ iid $ 錯誤（不必是正常的），$$ E[\exp(u)] = \frac{1}{N} \sum_i \exp(e_i), $$在哪裡 $ e_i $ 是殘差。

我在下面實現了段的塗抹變換。本質上，您需要將取冪平均值乘以取冪殘差的平均值：

library(tidyverse)
test <- tibble(salary = c(10000, 23244, 2222222, 2353, 2353463, 5464564),
            perf = c(4, 2, 4, 2, 5, 7))
m<-lm(log(salary) ~ 1 , data = test)
mean(exp(m$fitted.values))*mean(exp(m$residuals))
mean(test$salary)

即使您在模型中有協變量，這也將起作用，儘管您必須稍微調整計算，因為預測現在會因觀察結果而異：

mean(exp(m$fitted.values)*exp(m$residuals))

第二個版本也應該在您的僅攔截示例中工作。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/512008