如何生成具有一些強相關性的大型全秩隨機相關矩陣？

我想生成一個隨機相關矩陣的大小使得存在一些中等強度的相關性：

• 平方實對稱矩陣大小，例如;
• 正定的，即所有特徵值都是實數和正數；
• 滿級；
• 所有對角線元素等於;
• 非對角元素應合理均勻分佈在. 確切的分佈無關緊要，但我想有一些適度大的數量（例如）的中等大值（例如，絕對值或更高）。基本上我想確保與所有非對角元素幾乎不成對角線.

有沒有簡單的方法來做到這一點？

目的是使用這樣的隨機矩陣來對一些使用相關（或協方差）矩陣的算法進行基準測試。

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無效的方法

以下是一些我知道的生成隨機相關矩陣的方法，但在這裡對我不起作用：

1. 生成隨機的大小，中心，標準化並形成相關矩陣. 如果，這通常會導致所有非對角相關. 如果，一些相關性會很強，但是不會滿級。
2. 生成隨機正定矩陣通過以下方式之一：

• 生成隨機正方形並使對稱正定.
• 生成隨機正方形, 對稱, 並通過特徵分解使其為正定並將所有負特徵值設置為零：. 注意：這將導致秩虧矩陣。
• 生成隨機正交（例如通過生成隨機正方形並進行其 QR 分解，或通過 Gram-Schmidt 過程）和隨機對角線帶有所有積極的元素；形式.得到的矩陣可以很容易地歸一化以使所有的都在對角線上：， 在哪裡是與對角線相同的對角矩陣. 上面列出的所有三種生成方式造成非對角線元素關閉.

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更新：舊線程

發布我的問題後，我在過去發現了兩個幾乎重複的內容：

• 如何生成具有給定標準偏差的近似正態分佈非對角項的隨機相關矩陣？
• 如何有效地生成隨機正半定相關矩陣？

不幸的是，這些線程中沒有一個包含令人滿意的答案（直到現在:)

其他答案想出了以各種方式解決我的問題的好技巧。然而，我發現了一種原則性的方法，我認為它的一大優勢是概念上非常清晰且易於調整。

在這個線程中：如何有效地生成隨機正半定相關矩陣？– 我描述並提供了用於生成隨機相關矩陣的兩種有效算法的代碼。兩者都來自Lewandowski、Kurowicka 和 Joe (2009) 的論文，@ssdecontrol 在上面的評論中提到（非常感謝！）。

請在此處查看我的答案以獲取大量數字、解釋和 matlab 代碼。所謂的“藤蔓”方法允許生成具有任何偏相關分佈的隨機相關矩陣，並可用於生成具有大非對角線值的相關矩陣。這是該線程的示例圖：

子圖之間唯一變化的是一個參數，它控制偏相關分佈集中在.

我也複製了我的代碼以在此處生成這些矩陣，以表明它不比此處建議的其他方法長。請參閱我的鏈接答案以獲得一些解釋。betaparam上圖的值為（並且維度d是）。

function S = vineBeta(d, betaparam)
   P = zeros(d);           %// storing partial correlations
   S = eye(d);

   for k = 1:d-1
       for i = k+1:d
           P(k,i) = betarnd(betaparam,betaparam); %// sampling from beta
           P(k,i) = (P(k,i)-0.5)*2;     %// linearly shifting to [-1, 1]
           p = P(k,i);
           for l = (k-1):-1:1 %// converting partial correlation to raw correlation
               p = p * sqrt((1-P(l,i)^2)*(1-P(l,k)^2)) + P(l,i)*P(l,k);
           end
           S(k,i) = p;
           S(i,k) = p;
       end
   end

   %// permuting the variables to make the distribution permutation-invariant
   permutation = randperm(d);
   S = S(permutation, permutation);
end

更新：特徵值

@psarka 詢問這些矩陣的特徵值。在下圖中，我繪製了與上述相同的六個相關矩陣的特徵值譜。請注意，它們逐漸減少；相比之下，@psarka 建議的方法通常會產生一個具有一個大特徵值的相關矩陣，但其餘部分非常一致。

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更新。真正簡單的方法：幾個因素

類似於@ttnphns 在上面的評論中寫的和@GottfriedHelms 在他的回答中寫的，實現我的目標的一種非常簡單的方法是隨機生成幾個 () 因子載荷（隨機矩陣大小），形成協方差矩陣（當然不會是滿秩）並添加一個隨機對角矩陣有積極的元素滿級。可以將得到的協方差矩陣歸一化為相關矩陣（如我的問題中所述）。這非常簡單，並且可以解決問題。以下是一些示例相關矩陣：

唯一的缺點是生成的矩陣將具有大的特徵值，然後突然下降，與上面使用 vine 方法顯示的良好衰減相反。以下是對應的光譜：

這是代碼：

d = 100;    %// number of dimensions
k = 5;      %// number of factors

W = randn(d,k);
S = W*W' + diag(rand(1,d));
S = diag(1./sqrt(diag(S))) * S * diag(1./sqrt(diag(S)));

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/124538