拋硬幣是一種將一組隨機分成兩組的公平方法嗎？
所以我和我叔叔就拋硬幣是否真的是隨機的而爭論不休。我認為這不是因為實際上擲硬幣的人總是會操縱硬幣，所以結果不是 50/50，因此它不是臨床試驗中分配組的隨機化技術的好選擇。然而，他認為，正是拋硬幣過程中的微小缺陷造成了隨機性。因此，他假設了一台機器，它將永遠能夠擲出一枚公平的硬幣並讓它落在正面，老實說，我只需要有人為我解決這個問題。拋硬幣是一種將一組隨機分成兩組的公平方法嗎？
是的，硬幣翻轉是真實的隨機過程。雖然可以加載骰子，以便它有利於某些結果，但您不能偏向硬幣（有關詳細信息，請參閱Andrew Gelman 和 Deborah Nolan發表在The American Statistician上的論文）。您可以爭辯說拋硬幣是一個確定性的過程，實際上您可以建立一個描述該過程的數學模型，但其結果是隨機的。要了解更多關於拋硬幣檢查物理學的知識，請查看Santosh S. Venkatesh在 Coursera.org上的概率課程中他詳細描述了拋硬幣的動態並提供了為什麼它是真實隨機的論據（Tableau 7），您還可以查看凱勒的論文正面概率Mahadevan 和侯勇的短文題為概率、物理學和拋硬幣）。像這樣的確定性過程可能是隨機的，因為它是一種過程，其中初始參數（速度、角速度等）的微小變化會對結果產生巨大影響，是什麼導致其行為混亂（查看 P. Diaconis 的講座標題為“尋找隨機性” ）。
實際實驗表明，拋硬幣在小數點後兩位是公平的，並且一些研究表明它可能會略有偏差（參見Diaconis、Holmes 和 Montgomery的拋硬幣中的動態偏差， Chance News paper或40,000 次拋硬幣的收益D. Adolus的動態偏差的模棱兩可的證據）。Diaconis 等人。重現其中一個實驗的直方圖，其中 103 名學生每 100 次拋硬幣（見下文）。
請注意，現實生活中人們以不同的力量、不同的高度投擲硬幣、以不同角度平放在手上的硬幣開始、在不同的時間、以不同的方式接住它們、大氣條件不同等，這使得實際結果各不相同如上圖所示，在拋硬幣和拋硬幣之間。
正如A. Donda和Glen_b 所注意到的，有些人學會瞭如何有目的地投擲硬幣來獲得某些結果，而 Diaconis 等人也注意到了這一點。設法製造了一個拋硬幣的機器，它可以拋硬幣以獲得特定的結果。
難道這一切都讓拋硬幣不靠譜了嗎？華盛頓郵報引用了 Diaconis 等人的作者之一。紙：
我問福爾摩斯是否應該取消用於例如足球的硬幣翻轉，因為它們是有偏見的。答案是否定的，只要叫翻轉的人不知道硬幣將如何開始。在足球中，投擲者永遠不是打電話者。投擲者應該是裁判。但是，如果您既是調用者又是投擲者，那麼情況就會改變。了解拋硬幣的偏見會給你帶來優勢，儘管是很小的優勢。
此外，在大多數情況下，在實驗中觀察到的偏差並沒有真正大於我們從二項分佈中隨機抽取的預期（見下圖），它們在實驗和使用的硬幣之間有所不同。在大多數情況下，它們屬於二項分佈的 95% 最高密度區域，參數化為並且樣本大小等於特定實驗中拋硬幣的總數（即，我們預計 95% 的情況不會比這更極端）。在兩種情況下，結果落在區間之外：Janet 的投擲（由D. Aldous描述）和 Robin 的學生投擲的情況（如CHANCE News中所述）。然而，由於使用的方法（單擲與多擲、單硬幣與多硬幣等）和方法缺陷（例如，在羅賓的課堂案例中，學生在課外拋硬幣）的差異，很難比較實驗，所以它是沒有監控他們遵循說明的仔細程度）。
在上圖中，我們看到了不同實驗中頭部的比例，伴隨著 95% 的最高密度區域。結果來自於 CHANCE 新聞中的翻轉、旋轉和傾斜硬幣紙、拋硬幣和旋轉 - Helmut Kuchenhoff的統計教學有用的課堂實驗論文，以及D. Aldous 的實驗結果。球大小反映了實驗中使用的樣本大小。在-axis 我們看到結果（正面的比例），並且在軸的結果累積概率小於或等於從二項分佈計算得到的結果。
但是請注意，在大多數現實生活中，您並不需要真正的隨機值，而是您對錶現得像隨機數的數字感興趣。無論您是在進行統計，還是實施加密算法來加密數據，用於這些目的的是偽隨機數生成器，即產生與真實隨機值幾乎無法區分的輸出的確定性算法。即使對於尖端的密碼算法，這也足夠了。
綜上所述，該領域的研究結果喜憂參半，可以肯定的是，影響拋硬幣的因素有多種。您的問題的答案是肯定的，拋硬幣是隨機的，因為它提供了足夠的隨機性來考慮其結果是隨機的。
Bruno de Finetti 在他的論文Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science中引用 E. Borel 的話可以作為這個答案的座右銘：
“一個人可以在已經拋擲的硬幣在空中後下注，正面或反面，以便確定它的運動。一個人也可以在硬幣落下後下注，唯一的條件是人們看不到什麼概率並不在於事件是不確定的（在這個術語的或多或少的哲學意義上），而在於我們無法預測會發生什麼可能性，或者知道發生了什麼可能性。”
