來自 CDF 的隨機變量函數的期望

是否可以僅使用 rv 的 CDF 計算隨機變量函數的期望值？說我有一個功能有財產的我擁有的關於隨機變量的唯一信息是 CDF。

例如，我有一個場景，其中有三個計時器可以建模為指數隨機變量帶速率參數分別。對於每個時刻，我都會根據某種獎勵函數獲得獎勵. 也就是我等到時間的獎勵可以寫成. 然而，經歷收益遞減，因此在等待一秒鐘獲得的邊際獎勵在說大於一秒. 當兩件事之一發生時，這個“遊戲”就結束了。兩個計時器或者必須響鈴或計時器或者必須響鈴。我試圖找到玩這個遊戲的預期回報。

目前我可以計算隨機變量的CDF建模直到遊戲結束的時間，但我不知道如何使用這個信息來當我真正需要的是與這個時間相關​​的獎勵時。

到目前為止，我有額外的隨機變量：

也讓表示的 CDF CDF 的, 可以寫成：

我知道當隨機變量取非負值時，您可以使用快捷方式使用 CDF 計算期望值。那是，. 是否有類似的東西可以用於隨機變量的函數，或者是否有必要計算 pdf首先計算

什麼時候 F 是隨機變量的 CDF X 和 g 是一個（可測量的）函數，期望 g(X) 可以作為Riemann-Stieltjes 積分找到

E(g(X))=∫∞−∞g(x)dF(x).

這表達了無意識統計學家的法則。

如果 g 也是可微的，寫 dF=−d(1−F) 並分部分集成給

$$ \mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}{-\infty}^\infty + \int{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x), \text{d}x $$

假設兩個加數收斂。這意味著幾件事，可以簡單地通過在某個確定的有限值處打破積分來表達，例如 0 :

1. $ {\lim}{x\to -\infty} g(x)(1-F(x)) 和 {\lim}{x\to \infty} g(x)(1-F(x)) $ 存在並且是有限的。如果是這樣，第一個加數就是這兩者的差。
2. limt→−∞∫0t(1−F(x))g′(x),dx 和 limt→∞∫t0(1−F(x))g′(x),dx 存在並且是有限的。如果是這樣，則第二個加數是這兩者的總和。

打破積分的好地方是在任何零 g , 因為——提供 g 最終下降得足夠快 |x| –這導致第一個加數消失，只留下積分 g′ 反對生存函數 1−F .

例子

非負變量的期望 X 通過將公式應用於恆等函數獲得 g(x)=x 為此 g′(x)=1 並利用積分可能從零開始的事實：

$$ \mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|{0}^\infty + \int{0}^\infty (1-F(x)),\text{d}x. $$

假如 limx→∞x(1−F(x))=0 （即生存函數沒有過重的尾巴），第一項的上限消失。它的下限顯然消失了。我們只剩下積分，給出問題中的表達式。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/222478