來自 CDF 的隨機變量函數的期望
是否可以僅使用 rv 的 CDF 計算隨機變量函數的期望值？說我有一個功能有財產的我擁有的關於隨機變量的唯一信息是 CDF。
例如，我有一個場景，其中有三個計時器可以建模為指數隨機變量帶速率參數分別。對於每個時刻，我都會根據某種獎勵函數獲得獎勵. 也就是我等到時間的獎勵可以寫成. 然而，經歷收益遞減，因此在等待一秒鐘獲得的邊際獎勵在說大於一秒. 當兩件事之一發生時，這個“遊戲”就結束了。兩個計時器或者必須響鈴或計時器或者必須響鈴。我試圖找到玩這個遊戲的預期回報。
目前我可以計算隨機變量的CDF建模直到遊戲結束的時間，但我不知道如何使用這個信息來當我真正需要的是與這個時間相關的獎勵時。
到目前為止，我有額外的隨機變量：
也讓表示的 CDF CDF 的, 可以寫成：
我知道當隨機變量取非負值時，您可以使用快捷方式使用 CDF 計算期望值。那是，. 是否有類似的東西可以用於隨機變量的函數，或者是否有必要計算 pdf首先計算
什麼時候 $ F $ 是隨機變量的 CDF $ X $ 和 $ g $ 是一個（可測量的）函數，期望 $ g(X) $ 可以作為Riemann-Stieltjes 積分找到
$$ \mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x). $$
這表達了無意識統計學家的法則。
如果 $ g $ 也是可微的，寫 $ dF = -d(1-F) $ 並分部分集成給
$$ \mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}{-\infty}^\infty + \int{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x), \text{d}x $$
假設兩個加數收斂。這意味著幾件事，可以簡單地通過在某個確定的有限值處打破積分來表達，例如 $ 0 $ :
- $ {\lim}{x\to -\infty} g(x)(1-F(x)) $ 和 $ {\lim}{x\to \infty} g(x)(1-F(x)) $ 存在並且是有限的。如果是這樣，第一個加數就是這兩者的差。
- $ \lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x),\text{d}x $ 和 $ \lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x),\text{d}x $ 存在並且是有限的。如果是這樣，則第二個加數是這兩者的總和。
打破積分的好地方是在任何零 $ g $ , 因為——提供 $ g $ 最終下降得足夠快 $ |x| $ –這導致第一個加數消失，只留下積分 $ g^\prime $ 反對生存函數 $ 1-F $ .
例子
非負變量的期望 $ X $ 通過將公式應用於恆等函數獲得 $ g(x)=x $ 為此 $ g^\prime(x)=1 $ 並利用積分可能從零開始的事實：
$$ \mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|{0}^\infty + \int{0}^\infty (1-F(x)),\text{d}x. $$
假如 $ \lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0 $ （即生存函數沒有過重的尾巴），第一項的上限消失。它的下限顯然消失了。我們只剩下積分，給出問題中的表達式。