轉換變量密度的直觀解釋？
認為 $ X $ 是一個帶有pdf的隨機變量 $ f_X(x) $ . 那麼隨機變量 $ Y=X^2 $ 有pdf
$$ f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \ 0 & y \lt 0\end{cases} $$
我理解這背後的微積分。但我正在想辦法向不懂微積分的人解釋它。特別是，我試圖解釋為什麼這個因素 $ \frac{1}{\sqrt{y}} $ 出現在前面。我會試一試：
認為 $ X $ 具有高斯分佈。其 pdf 的幾乎所有權重都在值之間，例如， $ -3 $ 和 $ 3. $ 但這映射到 0 到 9 $ Y $ . 所以，pdf中的重量級 $ X $ 在轉型過程中已擴展到更廣泛的價值觀 $ Y $ . 因此，對於 $ f_Y(y) $ 要成為真正的 pdf，額外的權重必須通過乘法因子來降低權重 $ \frac{1}{\sqrt{y}} $
聽上去怎麼樣？
如果有人可以提供更好的解釋或鏈接到文檔或教科書中的解釋，我將不勝感激。我在幾本介紹性數學概率/統計書籍中找到了這個變量轉換示例。但我從來沒有找到一個直觀的解釋:(
PDF 是高度，但它們用於通過面積來表示概率。 因此，它有助於以一種提醒我們面積等於高度乘以底的方式來表達 PDF。
最初是任何值的高度 $ x $ 由 PDF 給出 $ f_X(x) $ . 基是無窮小的段 $ dx $ ，其中分佈（即與分佈函數相反的概率測度）實際上是微分形式，或“概率元素”
$$ \operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) , dx. $$
這是您想要在概念上和實踐上使用的對象，而不是 PDF，因為它明確包含表達概率所需的所有元素。
當我們重新表達 $ x $ 按照 $ y = x^2 $ , 基礎段 $ dx $ 被拉伸（或擠壓）：通過將區間的兩端從 $ x $ 到 $ x + dx $ 我們看到， $ y $ area 必須是一個長度區間
$$ dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x , dx + (dx)^2. $$
因為與無窮小本身相比，兩個無窮小的乘積可以忽略不計，我們得出結論
$$ dy = 2 x , dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}. $$
確定了這一點後，計算就很簡單了，因為我們只需插入新的高度和新的寬度：
$$ \operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) , dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y). $$
因為基礎，在 $ y $ ， 是 $ dy $ ，無論乘以什麼，它必須是高度，我們可以直接從中間項中讀取為
$$ \frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y). $$
這個方程 $ \operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y) $ 實際上是面積守恆定律（=概率）。
該圖準確地顯示了兩個 PDF 相關的狹窄（幾乎無限小）片段 $ y=x^2 $ . 概率由陰影區域表示。由於間隔的擠壓 $ [0.32, 0.45] $ 通過平方，紅色區域的高度（ $ y $ ，在左邊）必須按比例擴大以匹配藍色區域的面積（ $ x $ ，在右邊）。
