轉換變量密度的直觀解釋？
認為 X 是一個帶有pdf的隨機變量 fX(x) . 那麼隨機變量 Y=X2 有pdf
fY(y)={12√y(fX(√y)+fX(−√y))y≥0 0y<0
我理解這背後的微積分。但我正在想辦法向不懂微積分的人解釋它。特別是，我試圖解釋為什麼這個因素 1√y 出現在前面。我會試一試：
認為 X 具有高斯分佈。其 pdf 的幾乎所有權重都在值之間，例如， −3 和 3. 但這映射到 0 到 9 Y . 所以，pdf中的重量級 X 在轉型過程中已擴展到更廣泛的價值觀 Y . 因此，對於 fY(y) 要成為真正的 pdf，額外的權重必須通過乘法因子來降低權重 1√y
聽上去怎麼樣？
如果有人可以提供更好的解釋或鏈接到文檔或教科書中的解釋，我將不勝感激。我在幾本介紹性數學概率/統計書籍中找到了這個變量轉換示例。但我從來沒有找到一個直觀的解釋:(
PDF 是高度，但它們用於通過面積來表示概率。 因此，它有助於以一種提醒我們面積等於高度乘以底的方式來表達 PDF。
最初是任何值的高度 x 由 PDF 給出 fX(x) . 基是無窮小的段 dx ，其中分佈（即與分佈函數相反的概率測度）實際上是微分形式，或“概率元素”
PEX(x)=fX(x),dx.
這是您想要在概念上和實踐上使用的對象，而不是 PDF，因為它明確包含表達概率所需的所有元素。
當我們重新表達 x 按照 y=x2 , 基礎段 dx 被拉伸（或擠壓）：通過將區間的兩端從 x 到 x+dx 我們看到， y area 必須是一個長度區間
dy=(x+dx)2−x2=2x,dx+(dx)2.
因為與無窮小本身相比，兩個無窮小的乘積可以忽略不計，我們得出結論
dy=2x,dx, whence dx=dy2x=dy2√y.
確定了這一點後，計算就很簡單了，因為我們只需插入新的高度和新的寬度：
PEX(x)=fX(x),dx=fX(√y)dy2√y=PEY(y).
因為基礎，在 y ， 是 dy ，無論乘以什麼，它必須是高度，我們可以直接從中間項中讀取為
12√yfX(√y)=fY(y).
這個方程 PEX(x)=PEY(y) 實際上是面積守恆定律（=概率）。
該圖準確地顯示了兩個 PDF 相關的狹窄（幾乎無限小）片段 y=x2 . 概率由陰影區域表示。由於間隔的擠壓 [0.32,0.45] 通過平方，紅色區域的高度（ y ，在左邊）必須按比例擴大以匹配藍色區域的面積（ x ，在右邊）。
