Random-Variable
邊際獨立的隨機變量是否有可能是條件依賴的？
假設 $ X,Y $ 和 $ Z $ 是隨機變量。如果 $ X $ 獨立於 $ Z $ 和 $ Y $ 獨立於 $ Z $ , 有沒有可能 $ X $ 取決於 $ Z $ 給定 $ Y $ 和 $ Y $ 取決於 $ Z $ 給定 $ X $ ? 如果是這樣，有哪些例子？
這是一個包含三個伯努利隨機變量的簡單示例 $ X,Y,Z $ 具有以下屬性
$ X $ 和 $ Z $ 是獨立的， $ Y $ 和 $ Z $ 是獨立的並且
- $ X $ 和 $ Z $ 是條件相關的隨機變量，給定的值 $ Y $ ,
- $ Y $ 和 $ Z $ 是條件相關的隨機變量，給定的值 $ X $ ,
假設 $ (X,Y,Z) $ 承擔 $ 4 $ 價值觀 $ (0,0,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0) $ 等概率 $ \frac 14 $ . 很容易驗證， $ X, Y $ ， 和 $ Z $ 確實是帶參數的伯努利隨機變量 $ \frac 12 $ ， 然後 $ X, Y $ ， 和 $ Z $ 確實是成對的獨立隨機變量。（那些懶得自己進行驗證的人可以在這裡閱讀一些細節。）但請注意
- 鑑於 $ Y=0 $ , $ X $ 等於 $ Z $ ，而鑑於 $ Y=1 $ , $ X $ 等於 $ 1-Z $ 因此 $ X $ 和 $ Z $ 有條件地依賴給定 $ Y $ .
相似地，
- 鑑於 $ X=0 $ , $ Y $ 等於 $ Z $ 鑑於此 $ X=1 $ , $ Y $ 等於 $ 1-Z $ 因此 $ Y $ 和 $ Z $ 有條件地依賴給定 $ X $ .
對於這些特定的隨機變量，也確實如此 $ X $ 和 $ Y $ 是獨立的隨機變量；實際上， $ X,Y,Z $ 是成對獨立但不相互獨立的隨機變量。事實上，對於這些特定的隨機變量，也確實如此
- 鑑於 $ Z=0 $ , $ X $ 等於 $ Y $ 鑑於此 $ Z=1 $ , $ X $ 等於 $ 1-Y $ 因此 $ X $ 和 $ Y $ 有條件地依賴給定 $ Z $ ,
這與前面的兩個項目符號點具有令人愉悅的對稱性。這些額外的屬性可能不適用於滿足 OP 提出的問題中規定的要求的其他隨機變量集（不包括條件依賴的要求） $ X $ 和 $ Y $ 給定 $ Z $ ).