邊際獨立的隨機變量是否有可能是條件依賴的？

假設 X,Y 和 Z 是隨機變量。如果 X 獨立於 Z 和 Y 獨立於 Z , 有沒有可能 X 取決於 Z 給定 Y 和 Y 取決於 Z 給定 X ? 如果是這樣，有哪些例子？

這是一個包含三個伯努利隨機變量的簡單示例 X,Y,Z 具有以下屬性

X 和 Z 是獨立的， Y 和 Z 是獨立的並且

• X 和 Z 是條件相關的隨機變量，給定的值 Y ,
• Y 和 Z 是條件相關的隨機變量，給定的值 X ,

假設 (X,Y,Z) 承擔 4 價值觀 (0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) 等概率 14 . 很容易驗證， X,Y ， 和 Z 確實是帶參數的伯努利隨機變量 12 ， 然後 X,Y ， 和 Z 確實是成對的獨立隨機變量。（那些懶得自己進行驗證的人可以在這裡閱讀一些細節。）但請注意

• 鑑於 Y=0 , X 等於 Z ，而鑑於 Y=1 , X 等於 1−Z 因此 X 和 Z 有條件地依賴給定 Y .

相似地，

• 鑑於 X=0 , Y 等於 Z 鑑於此 X=1 , Y 等於 1−Z 因此 Y 和 Z 有條件地依賴給定 X .

對於這些特定的隨機變量，也確實如此 X 和 Y 是獨立的隨機變量；實際上， X,Y,Z 是成對獨立但不相互獨立的隨機變量。事實上，對於這些特定的隨機變量，也確實如此

• 鑑於 Z=0 , X 等於 Y 鑑於此 Z=1 , X 等於 1−Y 因此 X 和 Y 有條件地依賴給定 Z ,

這與前面的兩個項目符號點具有令人愉悅的對稱性。這些額外的屬性可能不適用於滿足 OP 提出的問題中規定的要求的其他隨機變量集（不包括條件依賴的要求） X 和 Y 給定 Z ).

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/511530