Beta(1,1) 隨機變量的平方根
如果 $ X^2 \sim \text{Beta}(1,1) $ , 的分佈是否存在封閉形式 $ X $ ? 如果是，它看起來像什麼？
如果這不是太多問，有沒有一種通用的方法來找到分佈 $ X $ 對於其他相關情況，例如 $ X^2 \sim \text{Beta}(0.5, 0.5) $ 或者 $ X^3 \sim \text{Beta}(1,1) $ ?
如果 $ X^{2}\sim\operatorname{Beta}(1,1) $ （這是一個均勻分佈），那麼 $ X^p\sim\operatorname{Kumaraswamy}(1/p, 1) $ （參見維基百科頁面）。生成的 Kumaraswamy 分佈的 PDF 由下式給出 $$ f(x)=\frac{x^{\frac{1}{p}-1}}{p}\qquad 0<x<1 $$ 所以對於這個例子 $ p=1/2 $ 我們有 $ (X^2)^{1/2}=X\sim\operatorname{Kumaraswamy}(2, 1) $ 帶PDF $ f(x) = 2x $ 為了 $ 0<x<1 $ .
一般來說，如果 $ X\sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta) $ ， 然後 $ X^p $ 和 $ p>0 $ 有PDF $$ f(x)=\frac{x^{\alpha/p-1}\left(1 - x^{1/p}\right)^{\beta- 1}}{pB(\alpha, \beta)}\qquad 0<x<1 $$ 在哪裡 $ B(\alpha, \beta) $ 是beta 函數。
例如，如果 $ X^{2}\sim\operatorname{Beta}(0.5, 0.5) $ ， 然後 $ X $ 有PDF（設置 $ p=1/2, \alpha = \beta=1/2 $ ) $$ f(x)=\frac{2}{\pi\sqrt{1 - x^{2}}}\qquad 0<x<1 $$