Beta(1,1) 隨機變量的平方根

如果 X2∼Beta(1,1) , 的分佈是否存在封閉形式 X ? 如果是，它看起來像什麼？

如果這不是太多問，有沒有一種通用的方法來找到分佈 X 對於其他相關情況，例如 X2∼Beta(0.5,0.5) 或者 X3∼Beta(1,1) ?

如果 X2∼Beta(1,1) （這是一個均勻分佈），那麼 Xp∼Kumaraswamy(1/p,1) （參見維基百科頁面）。生成的 Kumaraswamy 分佈的 PDF 由下式給出 f(x)=x1p−1p0<x<1

所以對於這個例子 p=1/2 我們有 (X2)1/2=X∼Kumaraswamy(2,1) 帶PDF f(x)=2x 為了 0<x<1 .

一般來說，如果 X∼Beta(α,β) ， 然後 Xp 和 p>0 有PDF f(x)=xα/p−1(1−x1/p)β−1pB(α,β)0<x<1

在哪裡 B(α,β) 是beta 函數。

例如，如果 X2∼Beta(0.5,0.5) ， 然後 X 有PDF（設置 p=1/2,α=β=1/2 ) f(x)=2π√1−x20<x<1

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/522201