試圖近似和[f(X)]和[F(X)]E[f(X)]- Wolfram Alpha 給出和[f(X)]≈13√和[F(X)]≈13E[f(X)] approx frac{1}{sqrt{3}}但我明白了和[f(X)]≈0和[F(X)]≈0E[f(X)] approx 0?

讓 X∼N(μX,σ2X)=N(0,1) . 讓 f(x)=e−x2 . 我想近似 E[f(X)] .

Wolfram Alpha給出 E[f(X)]≈1√3.

使用泰勒展開方法，並註意到 f″(0)=−2 ，我得到 E[f(X)]≈f(μX)+f″(μX)2σ2X =f(0)+f″(0)2 =1+−22 =0.

為什麼我的近似值與 Wolfram Alpha 結果不匹配？可以做些什麼來修復它？

這裡不需要近似值。使用矩生成函數的屬性， X 是標準正常的所以 X2 與一個 df進行卡方，具有矩生成函數 MX2(t)=1√1−2t （為了 t<1/2 .) 然後注意 MX(t)=EetX

是定義，所以 Ee−X2=MX²(−1)=1√1−2⋅(−1)=1√3

我們可以通過快速模擬在 R 中檢查這一點（進行模擬檢查總是一個好主意）：

mean( exp(-rnorm(1E6)^2) )
[1] 0.5774847
1/sqrt(3)
[1] 0.5773503

在評論中回答：

如果 𝑋 不是標準正態而是平均值正常呢？ 𝜇𝑋 和方差 𝜎2𝑋 . 您的方法是否仍然可以使用，或者它是否特定於標準正態分佈的情況？

它仍然可以使用。我不會提供完整的細節。一、簡易案例 X∼N(0,σ2) . 然後 X=(σZ)2 和 Z 標準正常，所以在上面的論點中你得到了論點 −σ2 代替 −1 對於 mgf（矩生成函數）。對於完全一般的情況，請參見例如非中心卡方分佈的矩生成函數 (MGF) 並從那裡開始工作。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/495042