試圖近似和[f(X)]和[F(X)]E[f(X)]- Wolfram Alpha 給出和[f(X)]≈13√和[F(X)]≈13E[f(X)] approx frac{1}{sqrt{3}}但我明白了和[f(X)]≈0和[F(X)]≈0E[f(X)] approx 0?
讓 $ X \sim \mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2) = \mathcal{N}(0,1) $ . 讓 $ f(x) = e^{-x^2} $ . 我想近似 $ E[f(X)] $ .
Wolfram Alpha給出 $$ \begin{align} E[f(X)] \approx \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{align} $$
使用泰勒展開方法，並註意到 $ f''(0) = -2 $ ，我得到 $$ \begin{align} E[f(X)] &\approx f(\mu_X) + \frac{f''(\mu_X)}{2} \sigma_X^2 \ & = f(0) + \frac{f''(0)}{2} \ & = 1 + \frac{-2}{2} \ & = 0. \end{align} $$
為什麼我的近似值與 Wolfram Alpha 結果不匹配？可以做些什麼來修復它？
這裡不需要近似值。使用矩生成函數的屬性， $ X $ 是標準正常的所以 $ X^2 $ 與一個 df進行卡方，具有矩生成函數 $ M_{X^2}(t)=\frac1{\sqrt{1-2t}} $ （為了 $ t<1/2 $ .) 然後注意 $$ \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}M_X(t)=\E e^{t X} $$是定義，所以 $$ \E e^{-X^2}=M_{X²}(-1)=\frac1{\sqrt{1-2\cdot (-1)}}=\frac1{\sqrt{3}} $$ 我們可以通過快速模擬在 R 中檢查這一點（進行模擬檢查總是一個好主意）：
mean( exp(-rnorm(1E6)^2) ) [1] 0.5774847 1/sqrt(3) [1] 0.5773503在評論中回答：
如果 𝑋 不是標準正態而是平均值正常呢？ $ 𝜇_𝑋 $ 和方差 $ 𝜎^2_𝑋 $ . 您的方法是否仍然可以使用，或者它是否特定於標準正態分佈的情況？
它仍然可以使用。我不會提供完整的細節。一、簡易案例 $ X \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) $ . 然後 $ X=(\sigma Z)^2 $ 和 $ Z $ 標準正常，所以在上面的論點中你得到了論點 $ -\sigma^2 $ 代替 $ -1 $ 對於 mgf（矩生成函數）。對於完全一般的情況，請參見例如非中心卡方分佈的矩生成函數 (MGF) 並從那裡開始工作。