兩個 rv 之差的統一 PDF
是否有可能讓兩個 iid rv 的差異的 PDF 看起來像一個矩形（而不是說，如果 rv 取自均勻分佈，我們得到的三角形）。
即對於所有-1 < x < 1，jk 的PDF f（對於從某個分佈中獲取的兩個iid rv）是否有可能具有f（x）= 0.5？
除了最小值為 -1 且最大值為 1 之外，我們從中獲取 j 和 k 的分佈沒有任何限制。
經過一些實驗，我認為這可能是不可能的。
**定理：**沒有分佈 $ \text{Dist} $ 為此 $ A-B \sim \text{U}(-1,1) $ 什麼時候 $ A, B \sim \text{IID Dist} $ .
**證明：**考慮兩個隨機變量 $ A, B \sim \text{IID Dist} $ 具有共同特徵函數 $ \varphi $ . 表示它們的區別 $ D=A-B $ . 差分的特徵函數為：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$
（這項工作的第四行源於特徵函數是 Hermitian的事實。）現在，取 $ D \sim \text{U}(-1,1) $ 給出了一個具體的形式 $ \varphi_D $ ，即：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$
其中後者是（未歸一化的）sinc 函數。因此，為了滿足要求 $ \text{Dist} $ ，我們需要一個特徵函數 $ \varphi $ 平方範數由下式給出：
$$ |\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t). $$
這個方程的左邊是一個平方範數，因此是非負的，而右邊是一個在不同地方都是負的函數。因此，這個方程沒有解，也就沒有滿足分佈要求的特徵函數。（向Fabian 致敬，因為他在有關數學的相關問題中指出了這一點。SE 。）因此，沒有符合定理要求的分佈。 $ \blacksquare $