兩個 rv 之差的統一 PDF
是否有可能讓兩個 iid rv 的差異的 PDF 看起來像一個矩形（而不是說，如果 rv 取自均勻分佈，我們得到的三角形）。
即對於所有-1 < x < 1，jk 的PDF f（對於從某個分佈中獲取的兩個iid rv）是否有可能具有f（x）= 0.5？
除了最小值為 -1 且最大值為 1 之外，我們從中獲取 j 和 k 的分佈沒有任何限制。
經過一些實驗，我認為這可能是不可能的。
**定理：**沒有分佈 Dist 為此 A−B∼U(−1,1) 什麼時候 A,B∼IID Dist .
**證明：**考慮兩個隨機變量 A,B∼IID Dist 具有共同特徵函數 φ . 表示它們的區別 D=A−B . 差分的特徵函數為：
φD(t)=E(exp(itD))=E(exp(it(A−B)))\[6pt]=E(exp(itA))E(exp(−itB))\[6pt]=φ(t)φ(−t)\[6pt]=φ(t)¯φ(t)\[6pt]=|φ(t)|2.\[6pt]
（這項工作的第四行源於特徵函數是 Hermitian的事實。）現在，取 D∼U(−1,1) 給出了一個具體的形式 φD ，即：
φD(t)=E(exp(itD))=∫Rexp(itr)fD(r)dr\[6pt]=121∫−1exp(itr)dr\[6pt]=12[exp(itr)it]r=1r=−1\[6pt]=12exp(it)−exp(−it)it\[6pt]=12(cos(t)+isin(t))−(cos(−t)+isin(−t))it\[6pt]=12(cos(t)+isin(t))−(cos(t)−isin(t))it\[6pt]=122isin(t)it\[6pt]=sin(t)t=sinc(t).\[6pt]
其中後者是（未歸一化的）sinc 函數。因此，為了滿足要求 Dist ，我們需要一個特徵函數 φ 平方範數由下式給出：
|φ(t)|2=φD(t)=sinc(t).
這個方程的左邊是一個平方範數，因此是非負的，而右邊是一個在不同地方都是負的函數。因此，這個方程沒有解，也就沒有滿足分佈要求的特徵函數。（向Fabian 致敬，因為他在有關數學的相關問題中指出了這一點。SE 。）因此，沒有符合定理要求的分佈。 ◼