做什麼磷(|Xn-X|≥ε)磷(|Xn-X|≥ε)P(|X_n - X| geq epsilon)直觀地表示？
我明白了 $ P(|X_n - c| \geq \epsilon) $ 表示隨機變量的概率 $ X_n $ 在區間之外 $ (c - \epsilon, c + \epsilon) $ 但我不確定它如何與隨機變量一起工作 $ P(|X_n - X| \geq \epsilon) $ . 隨機變量如何像常量一樣只取單個值？你會如何直觀地看待這個常數 $ c $ 案件？
我認為這是一個考慮 $ X_n $ 和 $ X $ 因為函數很有幫助。
假設我們有兩個函數 $ f,g : \mathbb R\to\mathbb R $ 也許它們看起來像這樣：
在那個圖中，我在 x 軸上標記了 $ |f-g| > .75 $ ， 在哪裡 $ 0.75 $ 是隨意選擇的。然後，我們可以將分歧區域的總長度視為不同程度的感覺 $ f $ 和 $ g $ 是。如果有很長的間隔 $ f $ 和 $ g $ 超過 $ 0.75 $ 除此之外，我們會有很大的分歧，而如果只有小範圍的分歧，那麼 $ f $ 和 $ g $ 很相似。
我們正在做同樣的事情 $ \newcommand{\e}{\varepsilon}P(|X_n-X|>\e) $ : 根據定義， $$ P(|X_n-X|>\e) = P\left({\omega\in\Omega : |X_n(\omega) - X(\omega)| > \e}\right). $$ 這裡，樣本空間 $ \Omega $ 在我的示例中扮演域的角色 $ f $ 和 $ g $ , 而不是只看分歧區域的長度（這將使用 Lebesgue 測量），我們用 $ P $ . 但從根本上說，最重要的想法是我們正在測量域的區域 $ X_n $ 和 $ X $ 不同意超過我們的閾值 $ \e $ .
如果其中一個函數碰巧是恆定的，那是完全相同的想法，只是更簡單，因為現在只有一件事在變化。
如果您想進行實驗，這是該圖的代碼。我採樣了 $ f $ 和 $ g $ iid 來自具有平方指數內核的高斯過程，以獲得平滑的任意外觀函數。
set.seed(2) n <- 1000 xseq <- seq(-5, 5, length=n) K <- exp(-.5 * as.matrix(dist(xseq))^2) sims <- MASS::mvrnorm(2, rep(0,n), K) plot(sims[1,] ~ xseq, type="l", col=2, lwd=2, xlab="x", ylab="y", main="f and g with |f-g|>.75 marked", ylim=c(-2,2)) lines(sims[2,] ~ xseq, col=4, lwd=2) legend("topleft", c("f", "g"), lwd=2, col=c(2,4), bty="n") thresh <- .75 rug(xseq[abs(sims[1,] - sims[2,]) > thresh])
