Random-Variable
做什麼磷(|Xn-X|≥ε)磷(|Xn-X|≥ε)P(|X_n - X| geq epsilon)直觀地表示？
我明白了 P(|Xn−c|≥ϵ) 表示隨機變量的概率 Xn 在區間之外 (c−ϵ,c+ϵ) 但我不確定它如何與隨機變量一起工作 P(|Xn−X|≥ϵ) . 隨機變量如何像常量一樣只取單個值？你會如何直觀地看待這個常數 c 案件？
我認為這是一個考慮 Xn 和 X 因為函數很有幫助。
假設我們有兩個函數 f,g:R→R 也許它們看起來像這樣：
在那個圖中，我在 x 軸上標記了 |f−g|>.75 ， 在哪裡 0.75 是隨意選擇的。然後，我們可以將分歧區域的總長度視為不同程度的感覺 f 和 g 是。如果有很長的間隔 f 和 g 超過 0.75 除此之外，我們會有很大的分歧，而如果只有小範圍的分歧，那麼 f 和 g 很相似。
我們正在做同樣的事情 P(|Xn−X|>ε) : 根據定義， P(|Xn−X|>ε)=P(ω∈Ω:|Xn(ω)−X(ω)|>ε).
這裡，樣本空間 Ω 在我的示例中扮演域的角色 f 和 g , 而不是只看分歧區域的長度（這將使用 Lebesgue 測量），我們用 P . 但從根本上說，最重要的想法是我們正在測量域的區域 Xn 和 X 不同意超過我們的閾值 ε .如果其中一個函數碰巧是恆定的，那是完全相同的想法，只是更簡單，因為現在只有一件事在變化。
如果您想進行實驗，這是該圖的代碼。我採樣了 f 和 g iid 來自具有平方指數內核的高斯過程，以獲得平滑的任意外觀函數。
set.seed(2) n <- 1000 xseq <- seq(-5, 5, length=n) K <- exp(-.5 * as.matrix(dist(xseq))^2) sims <- MASS::mvrnorm(2, rep(0,n), K) plot(sims[1,] ~ xseq, type="l", col=2, lwd=2, xlab="x", ylab="y", main="f and g with |f-g|>.75 marked", ylim=c(-2,2)) lines(sims[2,] ~ xseq, col=4, lwd=2) legend("topleft", c("f", "g"), lwd=2, col=c(2,4), bty="n") thresh <- .75 rug(xseq[abs(sims[1,] - sims[2,]) > thresh])
