Regression
線性回歸的平方和誤差分佈？
我知道樣本方差的分佈
這是因為可以用矩陣形式表示， （其中 A：對稱），它可以再次表示為：（其中 Q：正交矩陣，D：對角矩陣）。 關於什麼, 給定假設?
我想
但我不知道如何證明或展示它。
它是否完全按照?
我們可以用更一般的情況證明這一點變量通過使用“帽子矩陣”及其一些有用的屬性。由於使用了譜分解，這些結果通常更難以用非矩陣術語表示。
現在在最小二乘的矩陣版本中，帽子矩陣是在哪裡擁有行和列（一列）。為方便起見假設全列排名 - 否則您可以替換按列排名在下面的。我們可以將擬合值寫為或以矩陣表示法. 使用它，我們可以將平方和寫為：
在哪裡是階單位矩陣. 最後一步源於以下事實：是一個冪等矩陣，如
現在，冪等矩陣的一個簡潔屬性是它們的所有特徵值都必須等於 0 或 1。讓表示的歸一化特徵向量有特徵值，我們可以證明如下：
（注意不能為零，因為它必須滿足) 現在因為是冪等的，也是，因為
我們還具有特徵值之和等於矩陣蹟的性質，並且
因此一定有特徵值等於和特徵值等於.
現在我們可以使用譜分解在哪裡和是正交的（因為是對稱的）。另一個有用的屬性是. 這有助於縮小範圍矩陣
我們得到：
現在，在我們有的模型下並使用標準正態理論，我們有顯示的組件是獨立的。現在使用有用的結果，我們有為了. 卡方分佈與誤差平方和的自由度緊隨其後。