從 log y 預測 y 作為因變量
在 Wooldridge 所著的 Introductory Econometrics 一書中，該章涉及預測 $ \hat{y} $ （第 5 版第 6.4 章）陳述如下：
如果估計的模型是：
$$ \widehat{\log(y)} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_1 + …+\hat{\beta_k}x_k $$
然後
$$ \hat{y} = \exp\left(\frac{\hat{\sigma}^2}{2}\right) \exp(\widehat{\log(y)}) $$
在哪裡 $ \hat{\sigma}^2 $ 是的無偏估計量 $ \sigma^2. $
有人可以解釋為什麼會這樣以及為什麼我們不能簡單地採取 $$ \hat{y} = \exp(\widehat{\log(y)}) $$
基礎模型是
$$ E[\log Y] = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k $$
或者，就錯誤而言 $ \varepsilon_i, $
$$ \log Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \cdots + \beta_k x_{ki} + \varepsilon_i.\tag{*} $$
*當我們假設條件分佈 $ \log Y $ 是正常的，*那麼普通最小二乘法 (OLS) 估計 $ \log Y $ 也是正常的，因為估計是誤差的仿射線性組合。認為 $ \sigma^2 $ 是它的真實（但未知）方差。然後
$$ E[Y] = e^{\sigma^2/2} e^{E[\log Y]}. $$
（這是對數正態分佈的一個易於計算的屬性：例如，參見Wikipedia。）
伍德里奇插入了估計 $ \sigma^2 $ 和 $ E[\log Y] $ 進入這個公式。 因此，它可以看作是一種矩估計的方法 $ E[Y]. $
雖然直覺上是合理的，但這個估計器不一定是最好的，甚至不一定是好的。例如，它是有偏見的：請參閱https://stats.stackexchange.com/a/105734/919以獲取無偏見版本的討論和推導。它的主要缺陷是對估計的精度極度敏感 $ \hat \sigma^2: $ 要可靠地使用它，您需要大量數據或 $ \sigma^2 $ 要非常小。
鑑於此，您確實可以考慮使用估算值
$$ \widehat Y = \exp\left(\widehat {E[\log Y]}\right). $$
這估計了條件響應的幾何平均值（基本上通過幾何平均值的定義）。在某些應用中，它可能是更好的選擇。畢竟，當您使用 OLS 擬合數據的對數時，您低估了 $ Y $ 與高估相比，表明您確實不希望準確估計 $ E[Y] $ 本身。如果你這樣做了，你就會擬合非線性最小二乘模型
$$ E[Y] = \exp\left(\alpha_0+ \alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k\right) . $$
如果你想表達錯誤術語 $ \delta_i $ 明確地，這相當於
$$ Y_i = e^{\alpha_0}, \left(e^{x_{1i}}\right)^{\alpha_1},\cdots,\left(e^{x_{ki}}\right)^{\alpha_k} + \delta_i.\tag{**} $$
將其與指數進行比較是有啟發性的 $ (*) $ 斷言
$$ Y_i = e^{\beta_0}, \left(e^{x_{1i}}\right)^{\beta_1},\cdots,\left(e^{x_{ki}}\right)^{\beta_k} , e^{\varepsilon_i}. $$
在哪裡 $ () $ 假設乘法錯誤 $ \cdot e^{\varepsilon_i}, $ $ (**) $ 假設附加錯誤* $ +\delta_i. $ 這是兩個模型之間的基本區別。 （並且，因此， $ \alpha_j $ 不等於對應的 $ \beta_j $ 他們的估計也經常會有所不同。）