從“均勻間隔”樣本開始的單位圓盤上的回歸
我需要解決單位磁盤上的複雜回歸問題。最初的問題吸引了一些有趣的評論，但遺憾的是沒有答案。同時，我在這個問題上學到了更多的東西，因此我將嘗試將原始問題分解為子問題，看看這次我是否有更好的運氣。
我有 40 個溫度傳感器，它們在單位圓盤內有規律地排列成一個窄環：
這些傳感器及時獲取溫度。然而，由於時間變化遠小於空間變化，讓我們通過忽略時間變化來簡化問題，並假設每個傳感器只給我一個時間平均值。這意味著我有 40 個樣本（每個傳感器一個）並且我沒有重複的樣本。
我想建立一個回歸曲面從傳感器數據。回歸有兩個目標：
- 我需要估計平均徑向溫度分佈. 使用線性回歸，我已經估計了一個表面，它是平均溫度表面，因此我只需要對我的表面進行積分， 正確的？如果我使用多項式進行回歸，這一步應該是小菜一碟。
- 我需要估計徑向溫度曲線，使得在每個徑向位置，.
鑑於這兩個目標，我應該使用哪種技術進行單位磁盤上的回歸？當然，高斯過程通常用於空間回歸。然而，為單位磁盤定義一個好的內核並不是微不足道的，所以我想保持簡單並使用多項式，除非你覺得這是一個失敗的策略。我讀過Zernike polynomials。Zernike 多項式似乎適用於單位圓盤上的回歸，因為它們是周期性的.
選擇模型後，我需要選擇一個估計程序。由於這是一個空間回歸問題，不同位置的誤差應該是相關的。普通最小二乘假設不相關的錯誤，因此我猜廣義最小二乘會更合適。GLS 似乎是一種相對常見的統計技術，因為
gls標準 R 分佈中有一個函數。但是，我從未使用過 GLS，我對此表示懷疑。例如，如何估計協方差矩陣？一個可行的例子，即使只有幾個傳感器，也會很棒。PS 我選擇使用 Zernike 多項式和 GLS，因為在我看來，在這裡做的事情是合乎邏輯的。但是，我不是專家，如果您覺得我走錯了方向，請隨意使用完全不同的方法。
我認為您在考慮諸如Zernike 多項式之類的東西時走在正確的軌道上。正如 jwimberly 在回答中指出的那樣，這些是磁盤上正交基函數係統的一個示例。我不熟悉 Zernike 多項式，但許多其他正交函數族（包括 Bessel 函數）在經典數學物理學中作為某些偏微分方程的特徵函數自然出現（在撰寫本文時，該鏈接頂部的動畫甚至顯示了振動鼓頭的示例）。
我想到了兩個問題。首先，如果您所追求的只是徑向輪廓（平均），那麼您需要對空間模式進行多少限制？其次，時空數據中出現了哪些類型的可變性？
關於第一個問題，我想到了兩個問題。由於極坐標，每個傳感器的支撐區域都有一個趨勢. 第二個問題是混疊的可能性，本質上是傳感器相對於模式相位的未對準（使用傅立葉/貝塞爾類比）。請注意，混疊可能是限制峰值溫度的主要不確定性（即).
就第二個問題而言，數據可變性實際上有助於解決任何混疊問題，本質上允許任何未對齊在不同測量值上平均。（假設沒有系統偏差……但這對於任何方法都是一個問題，例如沒有物理模型來提供更多信息）。
因此，一種可能性是純粹在傳感器位置定義您的空間正交函數。這些“經驗正交函數”可以通過PCA在您的時空數據矩陣上計算。（可能您可以使用一些權重來考慮可變的傳感器支持區域，但考慮到統一的極坐標網格和徑向平均值的目標，這可能不是必需的。）
請注意，如果有任何可用於“預期”溫度變化的物理建模數據，可在密集的時空計算網格上獲得，那麼可以將相同的 PCA 程序應用於該數據以導出正交函數。（這在工程中通常稱為“適當的正交分解”，用於模型簡化，例如，可以提取昂貴的計算流體動力學模型以用於進一步的設計活動。）
最後的評論，如果您要按支持區域（即極坐標單元大小）對傳感器數據進行加權，這將是GLS框架中的一種對角協方差。（這將更多地適用於您的預測問題，儘管加權 PCA 將密切相關。）
我希望這有幫助！
**更新：**在我看來，您的新傳感器分佈圖改變了很多事情。如果你想估計磁盤內部的溫度，你需要一個比簡單的“單位磁盤上的正交函數集”更多的信息。傳感器數據中的信息太少了。
如果您確實想估計磁盤上的空間溫度變化，我能看到的唯一合理方法是將問題視為數據同化問題之一。在這裡，您至少需要基於一些基於物理的考慮來約束空間分佈的參數形式（這些可能來自模擬，或者可能來自具有相似動力學的系統中的相關數據）。
我不知道您的特定應用程序，但如果是這樣的，那麼我想您可以利用大量的工程文獻來選擇適當的先驗約束。（對於那種詳細的領域知識，這可能不是最好的 StackExchange 站點。）