當僅對預測變量進行縮放時，縮放回歸係數的解釋是什麼？

我正在運行一個具有 2 個連續預測變量 (x1, x2) 和 1 個連續結果變量 (y) 的模型。結果表明，兩個斜率和截距都顯著，沒有顯著的交互作用。假設我的結果是這樣的：

(intercept):  216.00
x1:           -12.00
x2:            -8.00

現在，為了便於解釋，我決定將它們標準化。所以我使用了這個scale()函數，我的模型現在有這樣的形式：

model.s <- lm(scale(y)~scale(x1)*scale(x2))

這些結果：

(intercept):  -0.0123   # It's not significant anymore
x1:           -2.3  
x2:           -1.2   

我的問題是：

1. 為什麼攔截失去了意義，如果這是正常的，
2. 我已經縮放了所有 3 個變量，這有什麼問題嗎？
3. 如何解釋縮放模型中的截距？

關於最後一個，我的解釋是：

1. 當x1處於均值 (x1) 且x2處於均值 (x2) 時，y 與均值相差 0.0123 個標準差。
2. 當x1上升 1SD 且x2處於平均值 (x2) 時，y 下降 -2.3SDs
3. 當x2上升 1SD 且x1處於均值 (x1) 時，y 減少 -1.2SDs

使用標準化的預測變量，而不是結果變量：

model.s1 <- lm(y~scale(x1)*scale(x2))

結果有些不同，似乎顯著性返回到截距並且值發生了變化：

(intercept):  98 
x1:          -20   
x2:          -17    

我對這些結果的解釋是：

1. 當x1處於均值 (x1) 且x2處於均值 (x2) 時，y 為 98
2. 當x1上升 1SD 且x2處於均值 (x2) 時，y 減少 -20 個單位
3. 當x2上升 1SD 且x1處於均值 (x1) 時，y 減少 -17 個單位

換句話說，我用 SD 術語解釋x1和x2，而我用單位解釋y。這種解釋是錯誤的嗎？

這裡回答了 R 中比例函數的作用。基本上，它都將平均值重新縮放為零，標準偏差重新縮放為 1。有幾點值得注意

1）如果原始變量不是正態分佈（ND），縮放變量也不會是ND。相反，如果原始變量是 ND，則重新調整的分佈將是 ND。

2）如果原始平均值不為零，則使用縮放值的回歸顯然與未縮放的原始值具有不同的截距。

3）如果原始變量關於它們的均值對稱分佈（並且如果均值是位置的良好度量），則縮放的、以零為中心的新變量回歸的截距應該為零（即使在乘積中），但是只有當一切（’s) 被重新調整。

4. 縮放是什麼意思？好吧，就其本身而言，並不多。為了解釋縮放的結果，人們必須知道從什麼開始的均值和標準差。基本上，它什麼也沒增加，甚至可能通過引入可變性使事情複雜化（想想在-軸）的自變量。

5）最後，做相對未縮放和縮放回歸模型的相關性並比較相關係數。如果回歸問題沒有改變，那將沒有區別。

也就是說，你正在做的是線性變換。例如，

所以，只需乘以，收集常數項並添加到恢復最初的，其中初始， 和

當這是作為自變量的乘積而不是總和時，事情會變得更加混亂，因為那時有一個， 也和條款。那麼這取決於你的原始方程是什麼（你沒有提供）。如果原方程沒有單獨的， 也和項，那麼變換後的方程和原方程是兩個不同的回歸問題，不會有相同的-價值觀。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/254934