樣本協方差矩陣是否總是對稱且正定的？

在計算樣本的協方差矩陣時，是否可以保證得到一個對稱的正定矩陣？

目前我的問題有 4600 個觀察向量和 24 個維度的樣本。

對於向量樣本 xi=(xi1,…,xik)⊤ ， 和 i=1,…,n ，樣本均值向量為 ˉx=1nn∑i=1xi,,

樣本協方差矩陣為 Q=1nn∑i=1(xi−ˉx)(xi−ˉx)⊤,.

對於非零向量 y∈Rk ， 我們有 y⊤Qy=y⊤(1nn∑i=1(xi−ˉx)(xi−ˉx)⊤)y

=1nn∑i=1y⊤(xi−ˉx)(xi−ˉx)⊤y

=1nn∑i=1((xi−ˉx)⊤y)2≥0,.(∗)

所以， Q 總是半正定的。

附加條件 Q whuber在下面的評論中給出了肯定的結論。它如下。

定義 zi=(xi−ˉx) ， 為了 i=1,…,n . 對於任何非零 y∈Rk , (∗) 為零當且僅當 z⊤iy=0 , 對於每個 i=1,…,n . 假設集合 z1,…,zn 跨度 Rk . 然後，有實數 α1,…,αn 這樣 y=α1z1+⋯+αnzn . 但是我們有 y⊤y=α1z⊤1y+⋯+αnz⊤ny=0 , 產生 y=0 ，矛盾。因此，如果 zi 的跨度 Rk ， 然後 Q 是肯定的。這個條件相當於 rank[z1…zn]=k .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/52976