(2𝑌−1)𝑋‾‾√∼(0,1)(2Y−1)X∼N(0,1)(2Y-1)sqrt Xsimmathcal N(0,1)什麼時候𝑋∼𝜒2𝑛−1X∼χn−12Xsimchi^2_{n-1}和𝑌∼Beta(𝑛2−1,𝑛2−1)Y∼Beta(n2−1,n2−1)Ysimtext{Beta}left(frac{n}{2}-1,frac{n}{2}-1right)獨立地

和是獨立分佈的隨機變量，其中和. 什麼是分佈?

聯合密度是（誰）給的

使用變量的變化這樣和,

我得到聯合密度作為

邊際pdf那麼是 ，這不會把我帶到任何地方。

再次，同時找到的分佈函數，出現了一個不完整的 beta/gamma 函數：

什麼是適當的變量變化？有沒有其他方法可以找到分佈?

我嘗試使用卡方、Beta、“F”和“t”分佈之間的不同關係，但似乎沒有任何效果。也許我錯過了一些明顯的東西。

---

正如@Francis 所提到的，這種變換是 Box-Müller 變換的推廣。

這是一個代數證明。我要改為讓（不是平方）所以我們需要找到. 這些都保證是有效的密度，所以我不打算跟踪歸一化常數。我們有

讓和所以逆變換是和. 這給了我們. 這導致我們

因此

為了方便讓. 兩邊乘以要得到

現在讓所以. 這給了我們

因為這個最終積分不依賴於，我們已經證明， 所以

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/327499