AR(2) 平穩性的證明
考慮一個以均值為中心的 AR(2) 過程
在哪裡是標準的白噪聲過程。為了簡單起見，讓我打電話和. 專注於我得到的特徵方程的根源 教科書中的經典條件如下： 我試圖手動解決（在 Mathematica 的幫助下）根上的不等式，即係統獲得公正第三個條件（) 恢復將前兩個解決方案彼此相加得到通過一些符號考慮變成? 還是我缺少解決方案？
我的猜測是，您所偏離的特徵方程與我的不同。讓我分幾個步驟來看看我們是否同意。
考慮方程 $$ \lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0 $$
如果 $ z $ 是“標準”特徵方程的根 $ 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0 $ 和設置 $ z^{-1}=\lambda $ ，顯示從改寫標準得到如下： $$ \begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*} $$ 因此，一個穩定的替代條件 $ AR(2) $ 是第一個顯示的所有根都在單位圓內， $ |z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1 $ .
我們使用這種表示來推導出一個平穩三角形 $ AR(2) $ 過程，也就是一個 $ AR(2) $ 滿足以下三個條件是穩定的：
- $ \phi_2<1+\phi_1 $
- $ \phi_2<1-\phi_1 $
- $ \phi_2>-1 $
回想一下，您可以將第一個顯示的根（如果真實）寫為 $$ \lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2} $$ 找到前兩個條件。
然後， $ AR(2) $ 是靜止的 $ |\lambda|<1 $ ，因此（如果 $ \lambda_i $ 是真實的）： $$ \begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*} $$ 兩者中較大的 $ \lambda_i $ 由 $ \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2 $ ， 或者： $$ \begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*} $$ 類似地，我們發現 $ \phi_2<1 + \phi_1 $ .
如果 $ \lambda_i $ 是複雜的，那麼 $ \phi_1^2<-4\phi_2 $ 所以$$ \lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2. $$複數的平方模是實部的平方加上虛部的平方。因此， $$ \lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2. $$ 這是穩定的，如果 $ |\lambda|<1 $ ，因此如果 $ -\phi_2<1 $ 或者 $ \phi_2>-1 $ ，如將要顯示的那樣。（限制 $ \phi_2<1 $ 產生於 $ \phi_2^2<1 $ 是多餘的 $ \phi_2<1+\phi_1 $ 和 $ \phi_2<1-\phi_1 $ .)
繪製平穩三角形，也表示將復數與實數根分開的線，我們得到
在 R 中使用
phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5)) abline(a = -1, b = 0, lty="dashed") abline(a = 1, b = -1, lty="dashed") title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8) polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray") lines(phi1,-phi1^2/4) text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7) text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7) text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)
