AR(2) 平穩性的證明

考慮一個以均值為中心的 AR(2) 過程

在哪裡是標準的白噪聲過程。為了簡單起見，讓我打電話和. 專注於我得到的特徵方程的根源 教科書中的經典條件如下： 我試圖手動解決（在 Mathematica 的幫助下）根上的不等式，即係統獲得公正第三個條件（) 恢復將前兩個解決方案彼此相加得到通過一些符號考慮變成? 還是我缺少解決方案？

我的猜測是，您所偏離的特徵方程與我的不同。讓我分幾個步驟來看看我們是否同意。

考慮方程 λ2−ϕ1λ−ϕ2=0

如果 z 是“標準”特徵方程的根 1−ϕ1z−ϕ2z2=0 和設置 z−1=λ ，顯示從改寫標準得到如下： 1−ϕ1z−ϕ2z2=0 ⇒z−2−ϕ1z−1−ϕ2=0 ⇒λ2−ϕ1λ−ϕ2=0

因此，一個穩定的替代條件 AR(2) 是第一個顯示的所有根都在單位圓內， |z|>1⇔|λ|=|z−1|<1 .

我們使用這種表示來推導出一個平穩三角形 AR(2) 過程，也就是一個 AR(2) 滿足以下三個條件是穩定的：

1. ϕ2<1+ϕ1
2. ϕ2<1−ϕ1
3. ϕ2>−1

回想一下，您可以將第一個顯示的根（如果真實）寫為 λ1,2=ϕ1±√ϕ21+4ϕ22

找到前兩個條件。

然後， AR(2) 是靜止的 |λ|<1 ，因此（如果 λi 是真實的）： −1<ϕ1±√ϕ21+4ϕ22<1 ⇒−2<ϕ1±√ϕ21+4ϕ2<2

兩者中較大的 λi 由 ϕ1+√ϕ21+4ϕ2<2 ， 或者： ϕ1+√ϕ21+4ϕ2<2 ⇒√ϕ21+4ϕ2<2−ϕ1 ⇒ϕ21+4ϕ2<(2−ϕ1)2 ⇒ϕ21+4ϕ2<4−4ϕ1+ϕ21 ⇒ϕ2<1−ϕ1

類似地，我們發現 ϕ2<1+ϕ1 .

如果 λi 是複雜的，那麼 ϕ21<−4ϕ2 所以λ1,2=ϕ1/2±i√−(ϕ21+4ϕ2)/2.

複數的平方模是實部的平方加上虛部的平方。因此， λ2=(ϕ1/2)2+(√−(ϕ21+4ϕ2)/2)2=ϕ21/4−(ϕ21+4ϕ2)/4=−ϕ2.

這是穩定的，如果 |λ|<1 ，因此如果 −ϕ2<1 或者 ϕ2>−1 ，如將要顯示的那樣。（限制 ϕ2<1 產生於 ϕ22<1 是多餘的 ϕ2<1+ϕ1 和 ϕ2<1−ϕ1 .)

繪製平穩三角形，也表示將復數與實數根分開的線，我們得到

在 R 中使用

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/118019