的分佈X2+是2−−−−−−−√X2+是2sqrt{X^2+Y^2}什麼時候X,和X,是X,Y是獨立的ü(0,1)ü(0,1)U(0,1)變量

作為例行練習，我試圖找到 √X2+Y2 在哪裡 X 和 Y 是獨立的 U(0,1) 隨機變量。

聯合密度 (X,Y) 是 fX,Y(x,y)=10<x,y<1

轉換為極坐標 (X,Y)→(Z,Θ) 這樣X=ZcosΘ and Y=ZsinΘ

所以， z=√x2+y2 和 0<x,y<1⟹0<z<√2 .

什麼時候 0<z<1 ， 我們有 0<cosθ<1,,0<sinθ<1 以便 0<θ<π2 .

什麼時候 1<z<√2 ， 我們有 zcosθ<⟹θ>cos−1(1z) ， 作為 cosθ 正在減少 θ∈[0,π2] ; 和 zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z) ， 作為 sinθ 正在增加 θ∈[0,π2] .

因此對於 1<z<√2 ， 我們有 cos−1(1z)<θ<sin−1(1z) .

雅可比變換的絕對值是|J|=z

因此聯合密度 (Z,Θ) 是（誰）給的

fZ,Θ(z,θ)=z1z∈(0,1),,θ∈(0,π/2)⋃z∈(1,√2),,θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))

整合出來 θ ，我們得到的pdf Z 作為

fZ(z)=πz210<z<1+(πz2−2zcos−1(1z))11<z<√2

我上面的推理正確嗎？無論如何，我想避免這種方法，而是嘗試找到的 cdf Z 直接地。但是我在評估時找不到所需的區域 Pr(Y≤√z2−X2) 幾何上。

編輯。

我試圖找到的分佈函數 Z 作為

FZ(z)=Pr(Z≤z)&=Pr(X2+Y2≤z2)&=∬x2+y2≤z210<x,y<1,dx,dy

Mathematica說這應該減少到

FZ(z)={0, if z<0 πz24, if 0<z<1 √z2−1+z22(sin−1(1z)−sin−1(√z2−1z)), if 1<z<√2 1, if z>√2

這看起來像正確的表達方式。區分 FZ 對於這種情況 1<z<√2 雖然提出了一個不容易簡化為我已經獲得的pdf的表達式。

最後，我認為我有正確的 CDF 圖片：

為了 0<z<1 :

而對於 1<z<√2 :

陰影部分應該表示該區域的面積\left{(x,y):0<x,y< 1,,,x^2+y^2\le z^2\right}

圖片立即產生

FZ(z)=Pr(−√z2−X2≤Y≤√z2−X2)&={πz24, if 0<z<1√z2−1+∫1√z2−1√z2−x2,dx, if 1<z<√2

，正如我之前發現的那樣。

可以通過簡單的模擬來檢查 pdf 是否正確

samps=sqrt(runif(1e5)^2+runif(1e5)^2)
hist(samps,prob=TRUE,nclass=143,col="wheat")
df=function(x){pi*x/2-2*x*(x>1)*acos(1/(x+(1-x)*(x<1)))}
curve(df,add=TRUE,col="sienna",lwd=3)

找到沒有變量極性變化的 cdf

最終具有相同的複雜性！（加上我在此過程中可能犯的錯誤！）

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/323617