指數和的分佈

讓 X1 和 X2 是具有速率的獨立同分佈指數隨機變量 λ . 讓 S2=X1+X2 .

**問：**證明 S2 有PDF fS2(x)=λ2xe−λx,,x≥0 .

請注意，如果事件發生根據具有速率的泊松過程 (PP) λ , S2 將代表第二個事件的時間。

其他方法值得讚賞。所提供的方法通常在學習排隊論和隨機過程時使用。

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回想一下指數分佈是伽瑪分佈的一個特例（帶有形狀參數 1 ）。我了解到這裡有一個更通用的版本可以應用。

Conditioning Approach

條件值 X1 . 從累積分佈函數 (CDF) 開始 S2 .

FS2(x)=P(S2≤x) =P(X1+X2≤x) =∫∞0P(X1+X2≤x|X1=x1)fX1(x1)dx1 =∫x0P(X1+X2≤x|X1=x1)λe−λx1dx1 =∫x0P(X2≤x−x1)λe−λx1dx1 =∫x0(1−e−λ(x−x1))λe−λx1dx1 =(1−e−λx)−λxe−λx

這是分佈的 CDF。要獲取 PDF，請區分以下內容 x （見這裡）。

fS2(x)=λ2xe−λx◻

這是一個二郎 (2,λ) 分佈（見這裡）。

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一般方法

依賴於獨立性的直接集成 X1 & X2 . 同樣，從累積分佈函數 (CDF) 開始 S2 .

FS2(x)=P(S2≤x) =P(X1+X2≤x) =P((X1,X2)∈A)(See figure below) =∫∫(x1,x2)∈AfX1,X2(x1,x2)dx1dx2 (Joint distribution is the product of marginals by independence) =∫x0∫x−x20fX1(x1)fX2(x2)dx1dx2 =∫x0∫x−x20λe−λx1λe−λx2dx1dx2 

由於這是 CDF，因此微分給出 PDF， fS2(x)=λ2xe−λx◻

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MGF 方法

這種方法使用矩生成函數(MGF)。

MS2(t)=E[etS2] =E[et(X1+X2)] =E[etX1+tX2] =E[etX1etX2] =E[etX1]E[etX2](by independence) =MX1(t)MX2(t) =(λλ−t)(λλ−t)t<λ =λ2(λ−t)2t<λ

雖然這可能不會產生 PDF，但一旦 MGF 與已知分佈匹配，PDF 也是已知的。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/371768