指數和的分佈
讓 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 是具有速率的獨立同分佈指數隨機變量 $ \lambda $ . 讓 $ S_2 = X_1 + X_2 $ .
**問：**證明 $ S_2 $ 有PDF $ f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},, x\ge 0 $ .
請注意，如果事件發生根據具有速率的泊松過程 (PP) $ \lambda $ , $ S_2 $ 將代表第二個事件的時間。
其他方法值得讚賞。所提供的方法通常在學習排隊論和隨機過程時使用。
回想一下指數分佈是伽瑪分佈的一個特例（帶有形狀參數 $ 1 $ ）。我了解到這裡有一個更通用的版本可以應用。
Conditioning Approach
條件值 $ X_1 $ . 從累積分佈函數 (CDF) 開始 $ S_2 $ .
$ \begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \ &= P(X_1 + X_2 \le x) \ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align} $
這是分佈的 CDF。要獲取 PDF，請區分以下內容 $ x $ （見這裡）。
$$ f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square $$
這是一個二郎 $ (2,\lambda) $ 分佈（見這裡）。
一般方法
依賴於獨立性的直接集成 $ X_1 $ & $ X_2 $ . 同樣，從累積分佈函數 (CDF) 開始 $ S_2 $ .
$ \begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \ &= P(X_1 + X_2 \le x) \ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\ \end{align} $
由於這是 CDF，因此微分給出 PDF， $ f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square $
MGF 方法
這種方法使用矩生成函數(MGF)。
$ \begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align} $
雖然這可能不會產生 PDF，但一旦 MGF 與已知分佈匹配，PDF 也是已知的。
