訂單統計總和的分佈

這個問題來自我試圖在羅伯特霍格介紹數學統計第 6 版問題 7.2.9（第 380 頁）中解決的問題。

問題是：

我們考慮一個隨機樣本來自 pdf 的分佈)exp(), . 然而，在壽命測試的情況下，我們可能只觀察到一階統計量.

(a) 記錄這些訂單統計的聯合 pdf 並用

(b) 在這些條件下，求 mle，，通過最大化.

(c) 找到的 mgf 和 pdf .

(d) 對充分性的定義稍作擴展，是 一個足夠的統計數據？

我可以解決（a）和（b），但**我完全被（c）困住，**因此無法轉發到（d）

解決（一）：

我們知道聯合pdf是我們只需將 (r+1) 項積分到 n 項，我們將獲得聯合 pfd.

(二)

這部分並不難。這只是計算mle的正常方法。

對我們得到的對數似然函數求導：

將導數設置為零

我們得到：

（C）

為了解決 (c) 我認為我們至少需要知道.

我在網上搜索，有一篇關於這個分佈的論文，https://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/articles/orderStatSum.pdf

但我認為該方法可能不正確，因為對於訂單統計不同，我們不能在那裡使用二項分佈。

這裡還有另一篇論文http://www.jstor.org/stable/4615746?seq=1#page_scan_tab_contents

但是如果有人想用更詳細的計算來解釋這篇論文，我完全迷失在公式（2.2）中，我們將不勝感激。

(d) 僅在解決 (c) 之後

自從

你有聯合pdf. 從那裡，您可以推斷出 pdf事實上，因為變換的雅可比是常數，通過整合意味著那 確實，

導致約束經過並通過

這簡化為

如果一個人開始融入, 最內積分是

從那裡可以通過遞歸進行。 因此

這是一個 R 模擬來顯示擬合： 獲得如下

n=10
r=5    
sim=matrix(rexp(n*1e4),1e4,n)
sim=t(apply(sim,1,sort))
res=apply(sim[,1:r],1,sum)+(n-r)*sim[,5]
hist(res,prob=TRUE)
curve(dgamma(x,sh=(n-r),sc=1),add=TRUE)

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/161145