找到聯合分佈X1X1X_1和∑n我=1X一世∑一世=1nX一世sum_{i=1}^n X_i
這個問題來自Robert Hogg 的數理統計導論第 6 版問題 7.6.7。問題是 ：
讓一個大小的隨機樣本 $ n $ 取自帶有 pdf 的分佈$$ f(x;\theta)=(1/\theta)\exp(-x/\theta)\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x) $$
求 MLE 和 MVUE $ P(X \le 2) $ .
我知道如何找到 MLE。
我認為找到 MVUE 的想法是使用 Rao-Blackwell 和 Lehmann 和 Scheffe。首先我們找到一個無偏估計 $ P(X \le 2) $ 可以是 $ \mathbb{I}{(0,2)}(X_1) $ ，我們知道 $ Y=\sum{i=1}^n X_i $ 一個充分的統計。
然後 $ \mathbb{E}[I_{(0,2)}(X_1)\mid Y] $ 將是MUVE。
為了找到期望，我們需要聯合分佈 $ X_1 $ 和 $ Y=\sum_{i=1}^n X_i $
我被困在這裡。
這本書有一個解決方案，但我不明白這個解決方案。解決方案說讓我們找到聯合分佈 $ Z=X_1 $ 和 $ Y $ 但首先讓 $ V=X_1+X_2 $ 和 $ U=X_1+X_2+X_3+… $ Jacobian 是一個，然後我們整合了其他變量。
雅可比為什麼等於一？
聯合分佈的答案是 $$ g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{(n-2)!\theta^n}e^{-y/\theta} $$
我們如何得到這個？
**更新：**按照西安的建議（書上建議的轉換很混亂），讓我們通過以下方式進行轉換：
讓
$$ \begin{align} Y_1 & =X_1, \Y_2 & =X_1+X_2,\ Y_3 & =X_1+X_2+X_3, \Y_4 & =X_1+X_2+X_3+X_4, \ & \quad \vdots \Y_n & =X_1+X_2+X_3+X_4+\cdots+X_n \end{align} $$
然後
$$ \begin{align} X_1 & =Y_1, \ X_2 & =Y_2-Y_1,\ X_3 & =Y_3-Y_2,\X_4 & =Y_4-Y_3,\ & ,,,\vdots \ X_n & =Y_n-Y_{n-1} \end{align} $$
對應的雅可比行列式是：
$$ \left | J \right |=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &\frac{\partial x_1}{\partial y_2} &\frac{\partial x_1}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_1}{\partial y_n} \ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &\frac{\partial x_2}{\partial y_2} &\frac{\partial x_2}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_2}{\partial y_n} \ \frac{\partial x_3}{\partial y_1} &\frac{\partial x_3}{\partial y_2} &\frac{\partial x_3}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_3}{\partial y_n} \ \vdots&\vdots & \vdots & &\vdots \ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} &\frac{\partial x_n}{\partial y_2} &\frac{\partial x_n}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}=\begin{array}{r} 1& 0 &0 & \cdots &0 &0 \ -1& 1 & 0 & \cdots & 0&0\ 0&-1 & 1 & \cdots &0 &0\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \ 0&0 &0 & \cdots & -1&1 \end{array}=1 $$
自從 $ X_1,X_2,\ldots,X_n $ 是獨立同居 $ \Gamma(1,\theta) $ [要么 $ \mathcal{E}(1/\theta) $ ]，聯合密度 $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ 是 ：
$$ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{1}{\theta}\exp(-x_1/\theta) \times\frac{1}{\theta} \exp(-x_2/\theta)\times \cdots\times\frac{1}{\theta}\exp(-x_n/\theta) \mathbb{I}{x_1\ge 0} \cdots\mathbb{I}{x_n\ge 0} $$
因此，聯合 pdf $ (Y_1,Y_2,\ldots, Y_n) $ 是
$$ \begin{align*}h(y_1,y_2,\ldots,y_n)&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_1/\theta)\exp[-(y_2-y_1)/\theta]\exp[-(y_3-y_2)/\theta]\cdots\exp[-(y_n-y_{n-1})/\theta]\left |J \right |\mathbb{I}{y_1\ge 0}\mathbb{I}{y_2-y_1\ge 0}\cdots\mathbb{I}{y_n-y{n-1} \ge 0}\&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\mathbb{I}{y_1\ge 0} \mathbb{I}{y_2\ge y_1}\cdots\mathbb{I}{y_n\ge y{n-1}}\end{align*} $$
接下來，我們可以整合出 $ y_2,y_3,\ldots,y_{n-1} $ 獲取聯合 pdf $ y_1 $ 和 $ y_n $
感謝西安的建議，現在我可以解決問題了，下面我會給出詳細的計算
$$ \begin{align} g(y_1,y_n) = {} &\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-3}}^{y_n} \int_{y_{n-2}}^{y_n} \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)dy_{n-1}dy_{n-2} \cdots dy_3,dy_2\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\ & \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-3}}^{y_n}\int_{y_{n-2}}^{y_n} , dy_{n-1},dy_{n-2}\cdots dy_3,dy_2 \ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-4}}^{y_n}\int_{y_{n-3}}^{y_n}(y_n-y_{n-2}),dy_{n-2},dy_{n-3}\cdots dy_3,dy_2 \ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-5}}^{y_n}\int_{y_{n-4}}^{y_n}\frac{(y_n-y_{n-3})^2}{2}dy_{n-3} ,dy_{n-4}\cdots dy_3 , dy_2 \ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n }\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-6}}^{y_n} \int_{y_{n-5}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-4})^3}{2 \times 3} , dy_{n-4} , dy_{n-5} \cdots dy_3,dy_2\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-7}}^{y_n} \int_{y_{n-6}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-5})^4}{2 \times 3 \times 4} , dy_{n-5} , dy_{n-4} \cdots dy_3,dy_2\ = {} & \cdots \ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\frac{(y_n-y_1)^{n-2}}{(n-2)!} \end{align} $$
改成書上的記號， $ y=y_n, z=y_1 $ ，我們得到
$$ g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{\theta^n(n-2)!}e^{-y/\theta}. $$
這解決了問題。
轉換參數可以正常工作並且總是有用的，但我現在將建議一種替代方法來解決這個問題，該方法與您在變量是離散的情況下使用的方法有一定的相似之處。回想一下，主要區別在於，對於離散隨機變量 對於連續 rv 是明確定義的,，所以我們需要小心一點。
讓我們現在正在尋找聯合分佈
我們可以用概率來近似
為了. 請注意，在第四行中，我們使用了伽馬分佈的可加性屬性，其中指數是一種特殊情況。
如果您調整符號，我們在這裡得到與上面相同的東西。這種方法可以讓您擺脫多重集成，這就是我喜歡它的原因。但是，再次注意如何定義密度。
希望這可以幫助。