找到聯合分佈X1X1X_1和∑n我=1X一世∑一世=1nX一世sum_{i=1}^n X_i
這個問題來自Robert Hogg 的數理統計導論第 6 版問題 7.6.7。問題是 ：
讓一個大小的隨機樣本 n 取自帶有 pdf 的分佈f(x;θ)=(1/θ)exp(−x/θ)I(0,∞)(x)
求 MLE 和 MVUE P(X≤2) .
我知道如何找到 MLE。
我認為找到 MVUE 的想法是使用 Rao-Blackwell 和 Lehmann 和 Scheffe。首先我們找到一個無偏估計 P(X≤2) 可以是 $ \mathbb{I}{(0,2)}(X_1) ，我們知道 Y=\sum{i=1}^n X_i $ 一個充分的統計。
然後 E[I(0,2)(X1)∣Y] 將是MUVE。
為了找到期望，我們需要聯合分佈 X1 和 Y=∑ni=1Xi
我被困在這裡。
這本書有一個解決方案，但我不明白這個解決方案。解決方案說讓我們找到聯合分佈 Z=X1 和 Y 但首先讓 V=X1+X2 和 U=X1+X2+X3+… Jacobian 是一個，然後我們整合了其他變量。
雅可比為什麼等於一？
聯合分佈的答案是 g(z,y;θ)=(y−z)n−2(n−2)!θne−y/θ
我們如何得到這個？
**更新：**按照西安的建議（書上建議的轉換很混亂），讓我們通過以下方式進行轉換：
讓
Y1=X1,\Y2=X1+X2, Y3=X1+X2+X3,\Y4=X1+X2+X3+X4, ⋮\Yn=X1+X2+X3+X4+⋯+Xn
然後
X1=Y1, X2=Y2−Y1, X3=Y3−Y2,\X4=Y4−Y3, ,,,⋮ Xn=Yn−Yn−1
對應的雅可比行列式是：
|J|=|∂x1∂y1∂x1∂y2∂x1∂y3⋯∂x1∂yn ∂x2∂y1∂x2∂y2∂x2∂y3⋯∂x2∂yn ∂x3∂y1∂x3∂y2∂x3∂y3⋯∂x3∂yn ⋮⋮⋮⋮ ∂xn∂y1∂xn∂y2∂xn∂y3⋯∂xn∂yn|=100⋯00 −110⋯00 0−11⋯00 ⋮⋮⋮⋮⋮ 000⋯−11=1
自從 X1,X2,…,Xn 是獨立同居 Γ(1,θ) [要么 E(1/θ) ]，聯合密度 x1,x2,…,xn 是 ：
$$ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{1}{\theta}\exp(-x_1/\theta) \times\frac{1}{\theta} \exp(-x_2/\theta)\times \cdots\times\frac{1}{\theta}\exp(-x_n/\theta) \mathbb{I}{x_1\ge 0} \cdots\mathbb{I}{x_n\ge 0} $$
因此，聯合 pdf (Y1,Y2,…,Yn) 是
$$ \begin{align*}h(y_1,y_2,\ldots,y_n)&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_1/\theta)\exp[-(y_2-y_1)/\theta]\exp[-(y_3-y_2)/\theta]\cdots\exp[-(y_n-y_{n-1})/\theta]\left |J \right |\mathbb{I}{y_1\ge 0}\mathbb{I}{y_2-y_1\ge 0}\cdots\mathbb{I}{y_n-y{n-1} \ge 0}\&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\mathbb{I}{y_1\ge 0} \mathbb{I}{y_2\ge y_1}\cdots\mathbb{I}{y_n\ge y{n-1}}\end{align*} $$
接下來，我們可以整合出 y2,y3,…,yn−1 獲取聯合 pdf y1 和 yn
感謝西安的建議，現在我可以解決問題了，下面我會給出詳細的計算
g(y1,yn)=∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−3∫ynyn−21θnexp(−yn/θ)dyn−1dyn−2⋯dy3,dy2 =1θnexp(−yn/θ) ∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−3∫ynyn−2,dyn−1,dyn−2⋯dy3,dy2 =1θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−4∫ynyn−3(yn−yn−2),dyn−2,dyn−3⋯dy3,dy2 =1θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−5∫ynyn−4(yn−yn−3)22dyn−3,dyn−4⋯dy3,dy2 =1θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−6∫ynyn−5(yn−yn−4)32×3,dyn−4,dyn−5⋯dy3,dy2 =1θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−7∫ynyn−6(yn−yn−5)42×3×4,dyn−5,dyn−4⋯dy3,dy2 =⋯ =1θnexp(−yn/θ)(yn−y1)n−2(n−2)!
改成書上的記號， y=yn,z=y1 ，我們得到
g(z,y;θ)=(y−z)n−2θn(n−2)!e−y/θ.
這解決了問題。
轉換參數可以正常工作並且總是有用的，但我現在將建議一種替代方法來解決這個問題，該方法與您在變量是離散的情況下使用的方法有一定的相似之處。回想一下，主要區別在於，對於離散隨機變量 對於連續 rv 是明確定義的,，所以我們需要小心一點。
讓我們現在正在尋找聯合分佈
我們可以用概率來近似
為了. 請注意，在第四行中，我們使用了伽馬分佈的可加性屬性，其中指數是一種特殊情況。
如果您調整符號，我們在這裡得到與上面相同的東西。這種方法可以讓您擺脫多重集成，這就是我喜歡它的原因。但是，再次注意如何定義密度。
希望這可以幫助。