如何解釋泊松 GLM 結果中的參數估計

Call:
glm(formula = darters ~ river + pH + temp, family = poisson, data = darterData)

Deviance Residuals:
   Min      1Q   Median     3Q    Max
-3.7422 -1.0257   0.0027 0.7169 3.5347

Coefficients:
             Estimate Std.Error z value Pr(>|z|)
(Intercept)   3.144257  0.218646  14.381  < 2e-16 ***
riverWatauga -0.049016  0.051548  -0.951  0.34166
pH            0.086460  0.029821   2.899  0.00374 **
temp         -0.059667  0.009149  -6.522  6.95e-11 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 233.68 on 99 degrees of freedom
Residual deviance: 187.74 on 96 degrees of freedom
AIC: 648.21

我想知道如何解釋上表中的每個參數估計。

我不認為您的問題標題準確地反映了您的要求。

如何解釋 GLM 中的參數的問題非常廣泛，因為 GLM 是一類非常廣泛的模型。回想一下，GLM 對響應變量進行建模 y 假設它遵循指數族的已知分佈，並且我們選擇了一個可逆函數 g 這樣 E[y,|,x]=g−1(x0+x1β1+⋯+xJβJ)

為了 J 預測變量 x . 在這個模型中，任何特定參數的解釋 βj 是變化率 g(y) 關於 xj . 定義 μ≡E[y,|,x]=g−1(x) 和 η≡x⋅β 保持符號乾淨。那麼，對於任何 j∈1,…,J , βj=∂,η∂,xj=∂,g(μ)∂,xj.

現在定義 ej 成為一個向量 J−1 零和一個 1 在裡面 j th 位置，例如，如果 J=5 然後 e3=(0,0,1,0,0) . 然後 βj=g(E[y,|,x+ej])−g(E[y,|,x])

這只是意味著 βj 是影響 η 增加一個單位 xj .

你也可以這樣陳述關係： ∂E[y,|,x]∂xj=∂μ∂xj=dμdη∂η∂xj=∂μ∂ηβj=dg−1dηβj

和 E[y,|,x+ej]−E[y,|,x]≡Δjˆy=g−1((x+ej)β)−g−1(x,β)

在不知道任何事情的情況下 g ，這是我們所能得到的。 βj 是影響 η ，關於轉換後的條件均值 y , 增加一個單位 xj ，以及對條件均值的影響 y 增加一個單位 xj 是 g−1(β) .

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但是您似乎是在使用 R 的默認鏈接函數專門詢問泊松回歸，在這種情況下是自然對數。如果是這種情況，您是在詢問一種特定類型的 GLM，其中 y∼Poisson(λ) 和 g=ln . 然後我們可以得到一些關於特定解釋的牽引力。

從我上面說的，我們知道 ∂μ∂xj=dg−1dηβj . 既然我們知道 g(μ)=ln(μ) ，我們也知道 g−1(η)=eη . 我們也碰巧知道 deηdη=eη ，所以我們可以說 ∂μ∂xj=∂E[y,|,x]∂xj=ex0+x1β1+⋯+xJβJβj

這最終意味著一些有形的東西：

鑑於一個非常小的變化 xj , 擬合的 ˆy 改變 ˆy,βj .

注意：這個近似值實際上可以用於 0.2 的變化，具體取決於您需要多少精度。

使用更熟悉的單位變化解釋，我們有： Δjˆy=ex0+x1β1+⋯+(xj+1),βj+⋯+xJβJ−ex0+x1β1+⋯+xJβJ =ex0+x1β1+⋯+xJβJ+βj−ex0+x1β1+⋯+xJβJ =ex0+x1β1+⋯+xJβJeβj−ex0+x1β1+⋯+xJβJ =ex0+x1β1+⋯+xJβJ(eβj−1)

意思是

給定單位變化 xj , 擬合的 ˆy 改變 ˆy(eβj−1) .

這裡需要注意三個重要部分：

1. 預測變量變化的影響取決於響應的水平。
2. 預測變量的加性變化對響應具有乘法效應。
3. 您不能僅通過閱讀係數來解釋它們（除非您可以在頭腦中計算任意指數）。

因此，在您的示例中，將 pH 值增加 1 的效果是增加 lnˆy 經過 ˆy(e0.09−1) ; 也就是說，乘以 ˆy 經過 e0.09≈1.09 . 看起來您的結果是您在某個固定時間單位（例如，一周）內觀察到的飛鏢數量。因此，如果您在 pH 值為 6.7 的情況下每週觀察 100 次飛鏢，將河流的 pH 值提高到 7.7 意味著您現在可以預期每週看到 109 次飛鏢。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/128926