Self-Study
如何在 Wold 表示中編寫 AR(2) 平穩過程
在幾何級數的幫助下，我設法在 Wold 表示中編寫了一個 AR(1) 過程。
我在使用固定式 AR(2) 時遇到問題。我該怎麼辦？
讓 $ X_t $ 是一個零均值協方差平穩時間序列，使得 $$ X_t = \varphi_1 X_{t-1} + \varphi_2 X_{t-2} + \varepsilon_t $$ 在哪裡 $ \varepsilon_t $ 是白噪聲。
使用 $ L $ 表示滯後（後移）算子，上面可以表示為 $$ (1-\varphi_1L - \varphi_2L^2)X_t=\varepsilon_t . \tag{1} $$
自從 $ X_t $ 是協方差平穩的 AR(2) 過程，其特徵多項式的根 $ (1-\varphi_1 z - \varphi_2 z^2) = 0 $ 必須在單位圓之外。因此，等式（1）可以寫成 $$ (1-\lambda_1 L)(1-\lambda_2 L)X_t=\varepsilon_t $$ 在哪裡 $ \vert \lambda_1 \rvert<1 $ 和 $ \vert \lambda_2 \rvert<1 $ . 最後兩個不等式對於協方差平穩的 AR(2) 過程是正確的，因為從那時起特徵多項式的根， $ z^_1=1/ \lambda_1 $ 和 $ z^_2=1/ \lambda_2 $ , 將位於單位圓之外。所以， $$ X_t= \frac{1}{(1-\lambda_1 L)} \frac{1}{(1- \lambda_2 L)} \varepsilon_t . $$
使用幾何級數展開上述等式右側的兩個分數。並且您將獲得 AR(2) 的 Wold 分解。