Self-Study
考試結果是二項式嗎？
這是我收到的一個簡單的統計問題。我不確定我是否理解它。
X = 考試中獲得的分數（多选和正確答案為一分）。X 二項式分佈嗎？
教授的回答是：
是的，因為只有正確或錯誤的答案。
我的答案：
不，因為每個問題都有不同的“成功概率”p。正如我所了解的那樣，二項式分佈只是一系列伯努利實驗，每個實驗都有一個簡單的結果（成功或失敗），具有給定的成功概率 p（並且所有關於 p 的“相同”）。例如，將（公平的）硬幣翻轉 100 次，這是 100 次伯努利實驗，並且都有 p=0.5 。但是這裡的問題有不同類型的 p 對嗎？
我同意你的回答。通常這種數據現在會用某種項目響應理論模型來建模。例如，如果您使用Rasch 模型，則二進制答案將被建模為
在哪裡可以認為是- 人的能力和作為-th 題難度。因此，該模型使您能夠捕捉到不同的人能力不同，問題的難度不同的事實，這是 IRT 模型中最簡單的一個。
您的教授的回答假設所有問題都具有相同的“成功”概率並且是獨立的，因為二項式是iid 伯努利試驗。它忽略了上述兩種依賴關係。
正如評論中所注意到的，如果您查看特定人的答案分佈（因此您不必關心人與人之間的變異性），或者不同人對同一項目的答案（因此沒有介於 -項目可變性），那麼分佈將是泊松二項式，即總和的分佈非獨立同分佈的伯努利試驗。分佈可以用二項式或泊松近似，但僅此而已。否則，您正在做出 iid 假設。
即使在關於猜測的“空”假設下，這也假設沒有猜測模式，因此人們的猜測方式沒有差異，項目的猜測方式也沒有差異——所以猜測純粹是隨機的。