“穩健統計：基於影響函數的方法”練習 2.2a.16 的解法
在穩健統計的第 180 頁：基於影響函數的方法發現以下問題：
- 16：證明對於位置不變的估計器總是 . 在有限樣本分解點上找到相應的上界, 在這種情況下是奇數或甚至。
第二部分（句號之後）實際上是微不足道的（給定第一部分），但我找不到證明問題的第一部分（句子）的方法。
在與這個問題有關的書的部分中，人們發現（p98）：
定義 2：有限樣本崩潰點估計者的在樣品是（誰）給的：
樣本在哪裡通過替換獲得數據點 通過任意值
的正式定義本身運行幾乎一頁，但可以被認為是
雖然沒有明確定義，但可以猜測位置不變意味著必須滿足
我（嘗試）在下面的評論中回答 whuber 的問題。本書定義了估算器是幾頁，從 p82 開始，我嘗試重現主要部分（我認為它會回答 whuber 的問題）：
假設我們有一維觀測它們是獨立同分佈的（iid）。觀測值屬於某個樣本空間，它是實線的子集（經常簡單地等於本身，因此觀察值可以取任何值）。參數模型由一系列概率分佈組成，在樣本空間上，其中未知參數屬於某個參數空間
…
我們識別樣本以其經驗分佈，忽略觀察的順序（幾乎總是這樣做）。正式地，， 是（誰）給的 在哪裡, 是點質量 1 in. 作為估計者，我們考慮實值統計. 在更廣泛的意義上，估計量可以看作是一系列統計數據 , 每個可能的樣本量一個. 理想情況下，根據參數模型的成員，觀察是獨立同分佈的 , 但類 所有可能的概率分佈 大得多。
我們考慮泛函的估計量[即， 對所有人和] 或者可以漸近地被泛函取代。這意味著我們假設存在一個泛函 [其中的域是所有分佈的集合為此 被定義]使得
當根據真實分佈觀察是獨立同分佈時的概率在. 我們說是的漸近值 在.
…
在本章中，我們總是假設所研究的泛函是 Fisher 一致的（Kallianpur 和 Rao，1955）：
這意味著在模型中，估計器 漸近地測量正確的量。與通常的一致性或漸近無偏性相比，Fisher 一致性的概念更適合和優雅地用於泛函。
較舊的統計書籍使用“不變”的方式與人們預期的略有不同。模棱兩可的術語仍然存在。更現代的等價物是“等變”（請參閱本文末尾的參考資料）。在目前的情況下，它意味著
對於所有真實的.
那麼，為了解決這個問題，假設具有足夠大的屬性, 都是真實的， 和所有,
每當不同於至多最多在坐標。
（這是一個比擊穿界限定義中假設的更弱的條件。事實上，我們真正需要假設的是，當足夠大，表達式“" 是保證小於的某個值在尺寸方面。）
證明是矛盾的。 因此，假設這也是等變的並且假設. 那麼對於足夠大,是一個整數和. 對於任何實數定義
哪裡有 ‘沙 的。通過改變或更少我們得出的坐標
和
為了 三角不等式斷言
倒數第二行的嚴格不等式保證足夠大. 它所暗示的矛盾，, 證明
參考
EL Lehmann，點估計理論。約翰威利 1983 年。
在正文（第 3 章第 1 節）和隨附的腳註中，萊曼寫道
一個滿足的估計器對所有人將被稱為等變…
一些作者稱這樣的估計量是“不變的”。因為這表明估計量在, 似乎更可取的是保留這個術語來滿足函數對所有人.