兩樣本卡方檢驗

這個問題來自范德法特的書 Asymptotic Statistics，pg。253.#3：

假設和是帶參數的獨立多項式向量和. 在原假設下顯示

擁有分配。在哪裡. 我需要一些幫助才能開始。這裡的策略是什麼？我能夠將這兩個總和組合成：

但這不適用於 CLT，因為它是和. 不確定這是否是正確的道路。有什麼建議？

編輯：如果那麼它很容易，因為我們得到

其中分子可以被視為多項式差異的總和變量，因此我們可以應用 CLT，然後使用同一章中的定理 17.2 完成它。但是，我無法弄清楚如何在這種情況下使用不同的樣本量來解決這個問題。有什麼幫助嗎？

指向 Google Books的 van der Vaart 第 17 章的鏈接

首先是一些符號。讓和表示與相關的分類序列和， IE. 讓. 考慮二元化

在哪裡是克羅內克三角洲。所以我們有 現在我們開始證明。首先，我們結合檢驗統計量的兩個總和。注意

所以我們可以將測試統計量寫為 接下來注意

具有以下屬性

所以通過多元CLT，我們有

在哪裡第一個元素,. 自從通過斯盧茨基，我們有在哪裡是個單位矩陣，. 自從具有多重性 1 的特徵值 0 和多重性的特徵值 1，通過連續映射定理（或參見引理 17.1，范德法特的定理 17.2）我們有

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/191630