的二樣本 CDF 是多少D+D+D^{+}和D−D−D^{-}來自單方面的 Kolmogorov-Smirnov 測試？
我試圖了解如何獲得- 單邊Kolmogorov- Smirnov檢驗的值，並且正在努力尋找 CDF和在兩個樣本的情況下。以下在一些地方被引用為 CDF在一個樣本的情況下：
此外，whuber sez 這個單樣本 CDF 的公式略有不同（我用為了在他的引用中與我的符號保持一致）：
使用概率積分變換，Donald Knuth推導出它們在 p 上的（公共）分佈。57 和TAoCP第 2 卷的練習 17。我引用：
這將適用於單樣本情況下的片面假設，例如：H， 在哪裡是經驗 CDF， 和是一些 CDF。
我認為_在這種情況下是值在一個人的樣本中，那是最大的整數. （那正確嗎？）
但是 CDF 有什麼用（要么) 當一個有兩個樣本時？例如，當 H對於經驗 CDF和? 如何獲得?
好的，我將對此進行嘗試。歡迎提出批判性見解。
在第 192 頁 Gibbons 和 Chakraborti (1992)，引用 Hodges，1958，從一個小樣本（確切的？）CDF 開始進行雙邊測試（我正在交換他們的 m,n 和 d 符號為 n1,n2 和 x ， 分別）：
P(Dn1,n2≥x)=1−P(Dn1,n2≤x)=1−A(n1,n2)(n1+n2n1)
在哪裡 A(n1,n2) 是通過枚舉路徑產生的（在 n1 和 n2 ) 從原點到點 (n1,n2) 通過一個圖——代入 Sm(x) 為了 Fn1(x) — x軸和y軸的值是 n1F1(x) 和 n2F2(x) . 路徑必須進一步遵守留在邊界內的約束（其中 x 是 Kolmogorov-Smirnov 檢驗統計量的值）：
n2n1±(n1+n2)x(n1+n2n1)
下面是他們的圖像圖 3.2提供了一個示例 A(3,4) ，有 12 條這樣的路徑：
Gibbons 和 Chakaborti 繼續說，片面的 p -值是使用相同的圖形方法獲得的，但只有下限 $ D^{+}{n{1},n_{2}} ，並且只有上 D^{-}{n{1},n_{2}} $ .
這些小樣本方法需要路徑枚舉算法和/或遞歸關係，這無疑使漸近計算成為可取的。Gibbons 和 Chakraborti 也注意到限制性 CDF 為 n1 和 n2 接近無窮大，的 Dn1,n2 :
limn1,n2→∞P(√n1n2n1+n2Dn1,n2≤x)=1−2∞∑i=1(−1)i−1e−2i2x2
他們給出了限制 CDF $ D^{+}{n{1},n_{2}} （要么 D^{-}{n{1},n_{2}} $ ） 作為：
$$ \lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}{n{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}} $$
因為 D+ 和 D− 是嚴格非負的，CDF 只能取非零值 [0,∞) :
（要么 D− )" />
參考文獻
Gibbons, JD 和 Chakraborti, S. (1992)。非參數統計推斷。Marcel Decker, Inc.，第 3 版，修訂和擴展版。 霍奇斯，JL（1958 年）。Smirnov 二樣本檢驗的顯著性概率。Arkiv for matematik。3（5）：469-486。
