這有什麼樣的分佈？

目前我正在嘗試弄清楚以下內容的分佈：

$ X \sim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{Gamma(n,\beta)}} $ 其中分母遵循a $ Gamma(n,\beta) $ 分配。

我檢查了這些鏈接：

1. 逆伽馬分佈隨機變量的平方根；
2. 逆伽馬分佈的平方根？;
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-gamma_distribution；
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Nakagami_distribution。

我只是不確定如何連接這些點。我想我在玩某種 Nakagami 發行版？只是想找出一種干淨的表達方式 $ X $ 並知道它的參數是什麼樣的。如果可以的話，我需要找到它的均值和方差。

讓 $ Z $ 有一個伽瑪 $ (n,1) $ 分佈，有密度

$$ f_Z(z) = \frac{1}{\Gamma(n)}, z^{n-1} ,e^{-z},\mathrm{d}z. $$

讓 $ \lambda \gt 0. $ 然後

$$ X = \sqrt{\lambda}Z^{-1/2} $$

範圍從 $ 0 $ 到 $ \infty $ 和

$$ Z = \frac{\lambda}{X^2}. $$

替代 $ z = \lambda x^{-2} $ 和（因此） $ |\mathrm{d}z| = 2\lambda x^{-3}\mathrm{d}x $ 我們發現

$$ f_X(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{\Gamma(n)} (\lambda x^{-2})^{n-1},e^{-\lambda/x^2},2\lambda x^{-3}\mathrm{d} x = \frac{2\lambda^{n}}{\Gamma(n)}, x^{-2n-1},e^{-\lambda/x^2},\mathrm{d}x. $$

放 $ \lambda = \sqrt{n/\beta} $ 或者 $ \lambda=\sqrt{n\beta} $ 取決於是否 $ \beta $ 分別是比例或速率參數。

這是一個廣義逆伽馬分佈。

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去尋找那些時刻 $ X $ 忽略這一切更簡單。 讓 $ k $ 成為當下（ $ k=1 $ 期望等）並觀察

$$ E(X^k) = E\left(\lambda^{k/2} Z^{-k/2}\right) = \lambda^{k/2} \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^\infty z^{-k/2},z^{n-1},e^{-z},\mathrm{d}z = \lambda^{k/2}\frac{\Gamma(n-k/2)}{\Gamma(n)}. $$

這是一個直方圖 $ 10^5 $ 的實現 $ Z $ 和 $ n=8, $ $ \beta=1/3 $ （比率）。我在上面疊加了理論分佈，這是非常一致的。以下R代碼報告了該樣本的均值和方差以及理論值；他們也非常同意。

n <- 8
beta <- 1/3
n.sim <- 1e5

Z <- rgamma(n.sim, n, beta)
X <- sqrt(n)/sqrt(Z)

hist(X, freq=FALSE, breaks=50, col="#f8f8f8")
curve(dgamma(n/x^2, n, beta) * 2*n/x^3, xname="x", add=TRUE, col="Red", lwd=2)

c(Mean=mean(X), Formula=sqrt(n*beta) * exp(lgamma(n-1/2) - lgamma(n)))
c(mu2=mean(X^2), Formula=n*beta / (n-1))
c(Variance=var(X), Formula=n*beta*(1/(n-1) - exp(2*(lgamma(n-1/2) - lgamma(n)))))

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/464500