這有什麼樣的分佈？

目前我正在嘗試弄清楚以下內容的分佈：

X∼√n√Gamma(n,β) 其中分母遵循a Gamma(n,β) 分配。

我檢查了這些鏈接：

1. 逆伽馬分佈隨機變量的平方根；
2. 逆伽馬分佈的平方根？;
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-gamma_distribution；
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Nakagami_distribution。

我只是不確定如何連接這些點。我想我在玩某種 Nakagami 發行版？只是想找出一種干淨的表達方式 X 並知道它的參數是什麼樣的。如果可以的話，我需要找到它的均值和方差。

讓 Z 有一個伽瑪 (n,1) 分佈，有密度

fZ(z)=1Γ(n),zn−1,e−z,dz.

讓 λ>0. 然後

X=√λZ−1/2

範圍從 0 到 ∞ 和

Z=λX2.

替代 z=λx−2 和（因此） |dz|=2λx−3dx 我們發現

fX(x)dx=1Γ(n)(λx−2)n−1,e−λ/x2,2λx−3dx=2λnΓ(n),x−2n−1,e−λ/x2,dx.

放 λ=√n/β 或者 λ=√nβ 取決於是否 β 分別是比例或速率參數。

這是一個廣義逆伽馬分佈。

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去尋找那些時刻 X 忽略這一切更簡單。 讓 k 成為當下（ k=1 期望等）並觀察

E(Xk)=E(λk/2Z−k/2)=λk/21Γ(n)∫∞0z−k/2,zn−1,e−z,dz=λk/2Γ(n−k/2)Γ(n).

這是一個直方圖 105 的實現 Z 和 n=8, β=1/3 （比率）。我在上面疊加了理論分佈，這是非常一致的。以下R代碼報告了該樣本的均值和方差以及理論值；他們也非常同意。

n <- 8
beta <- 1/3
n.sim <- 1e5

Z <- rgamma(n.sim, n, beta)
X <- sqrt(n)/sqrt(Z)

hist(X, freq=FALSE, breaks=50, col="#f8f8f8")
curve(dgamma(n/x^2, n, beta) * 2*n/x^3, xname="x", add=TRUE, col="Red", lwd=2)

c(Mean=mean(X), Formula=sqrt(n*beta) * exp(lgamma(n-1/2) - lgamma(n)))
c(mu2=mean(X^2), Formula=n*beta / (n-1))
c(Variance=var(X), Formula=n*beta*(1/(n-1) - exp(2*(lgamma(n-1/2) - lgamma(n)))))

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/464500