Self-Study
為什麼 2SLS 的方差比 OLS 大？
… 應用 2SLS 和其他 IV 程序的另一個潛在問題是 2SLS 標準誤差趨向於“大”。此陳述的通常含義是 2SLS 係數在統計上不顯著或 2SLS 標準誤差遠大於 OLS 標準誤差。毫不奇怪，2SLS 標準誤差的大小取決於估計中使用的儀器的質量等。
這句話來自Wooldridge 的“橫截面和麵板數據的計量經濟學分析”。我想知道為什麼會這樣？我更喜歡數學解釋。
為簡單起見假設同方差，OLS 估計量的（估計）漸近方差由下式給出
而對於 2SLS 估計器
在哪裡
是回歸變量的矩陣，包括內生變量，並且是工具變量的矩陣。
所以重寫 2SLS 的方差給出
但是，我無法從上述公式中得出結論.
我們說一個矩陣至少和如果他們的區別是半正定 (psd)。
在這裡檢查起來更方便的等效語句是是 psd（很像相當於）。
所以我們想檢查一下
是psd。 寫
檢查是 psd，我們必須證明，對於任何向量,
讓. 然後，
作為是一個對稱且冪等的投影矩陣，已知為psd：寫，使用對稱性和冪等性，
然後讓， 以便，作為平方和，它必須是非負的。 PS：兩個小問題-您指的是估計的漸近方差. 現在，OLS 估計器和 2SLS 估計器不一樣，因此我認為如果這些估計不同，則不一定必須保留排名。此外，漸近方差通常按比例縮放從而獲得一個非退化量為. （當然，縮放兩者不會影響排名，所以這個問題對於這個特定的問題有點沒有實際意義。）