內在空間平穩性：它不只適用於小滯後嗎？
從內在平穩性的定義：
例如，在普通克里金法中使用此假設，而不是假設整個空間的均值恆定，我們假設均值在局部是恆定的。
如果鄰域中的平均值是恆定的，我們在邏輯上期望彼此接近的兩個測量值之間的差異為零。但是由於均值隨空間而變化，我們不希望彼此相距很遠的值的差異為零嗎？
因此，內在平穩性的假設不應該是：
為了
是和不是。
是的
我記得Andre Journel很久以前就強調了以下幾點：
- 平穩性假設是分析師做出的關於使用何種模型的決策。它們不是現象的固有屬性。
- 這樣的假設對於偏離是穩健的，因為克里金法（至少在 20 多年前實踐過）幾乎總是基於在移動搜索鄰域內選擇附近數據的局部估計量。
這些點通過暗示在實踐中只需要在典型的搜索鄰域內保持，然後只需要近似地保持內在平穩性純粹是局部屬性的印象。
不
然而，在數學上確實是這樣的情況，即無論距離如何，預期差異都必須完全為零 $ |h| $ . 事實上，如果您只假設預期差異在滯後中是連續的 $ h $ ，你根本不會假設太多！這種較弱的假設相當於斷言期望中缺乏結構性中斷（這甚至不意味著在過程的實現中缺乏結構性中斷），但否則它不能被用來構建克里金方程，甚至估計變異函數。
要了解平均連續性的假設有多弱（實際上是無用的），請考慮一個過程 $ Z $ 在實際線上
$$ Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise } $$
在哪裡 $ U $ 具有標準正態分佈。實現圖將由高度的半線組成 $ u $ 為負 $ x $ 和另一條高處的半線 $ -u $ 為正 $ x $ .
對於任何 $ x $ 和 $ h $ ,
$$ E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0 $$
但幾乎可以肯定 $ U\ne -U $ ，表明這個過程的幾乎所有實現都是不連續的 $ 0 $ ，即使過程的平均值在任何地方都是連續的。
解釋
Diggle 和 Ribeiro 討論了這個問題 [at p. 66]。他們在談論內在隨機函數，其增量 $ Z(x)-Z(x-h) $ 假設是靜止的（不僅僅是弱靜止的）：
與平穩隨機函數相比，內在隨機函數包含更廣泛的模型。關於空間預測，從內在模型和從靜止模型獲得的預測之間的主要區別在於，如果使用內在模型，則在一個點的預測 $ x $ 受數據的本地行為影響；*即，*通過在相對接近的位置觀察到的測量 $ x $ ，而來自靜止模型的預測也受到全局行為的影響。理解這一點的一種方法是記住內在過程的平均值是不確定的。因此，從假設的內在模型得出的預測往往會在局部平均值附近波動。相反，在數據稀疏的地區，從假設的平穩模型得出的預測傾向於恢復為假設模型的全局平均值。這兩種行為中哪一種更自然取決於使用模型的科學背景。
評論
相反，如果你想控製過程的局部行為，你應該對增量的第二時刻做出假設， $ E([Z(x)-Z(x-h)]^{2}) $ . 例如，當這接近 $ 0 $ 作為 $ h\to 0 $ ，過程是均方連續的。 當存在進程時 $ Z^\prime $ 為此
$$ E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2) $$
對所有人 $ x $ ，則過程是均方可微的（帶導數 $ Z^\prime $ ）。
參考
Peter J. Diggle 和 Paulo J. Ribeiro Jr.，基於模型的地質統計學。施普林格 (2007)