如何測試同一模型中的兩個參數估計值是否顯著不同？
我有模型
$$ y=x^a \times z^b + e $$
在哪裡 $ y $ 是因變量， $ x $ 和 $ z $ 是解釋變量， $ a $ 和 $ b $ 是參數和 $ e $ 是一個錯誤術語。我有參數估計 $ a $ 和 $ b $ 以及這些估計的協方差矩陣。我如何測試是否 $ a $ 和 $ b $ 有顯著不同？
評估假設 $ a $ 和 $ b $ 不同等於檢驗原假設 $ a - b = 0 $ （反對替代方案 $ a-b\ne 0 $ ）。
以下分析假設您估計是合理的 $ a-b $ 作為$$ U = \hat a - \hat b. $$ 它還接受您的模型公式（通常是一個合理的公式），因為誤差是相加的（甚至可能產生負觀測值 $ y $ )——不允許我們通過取兩邊的對數來線性化它。
的方差 $ U $ 可以用協方差矩陣表示 $ (c_{ij}) $ 的 $ (\hat a, \hat b) $ 作為
$$ \operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2. $$
什麼時候 $ (\hat a, \hat b) $ 用最小二乘估計，通常使用“t檢驗”；也就是說，分佈 $$ t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}} $$由Student t 分佈近似，其中 $ n-2 $ 自由度（其中 $ n $ 是數據計數和 $ 2 $ 計算係數的數量）。不管， $ t $ 通常是任何測試的基礎。您可以執行 Z 測試（當 $ n $ 例如，很大或在擬合最大似然時）或引導它。
具體來說，t 檢驗的 p 值由下式給出
$$ p = 2t_{n-2}(-|t|) $$
在哪裡 $ t_{n-2} $ 是學生 t（累積）分佈函數。它是“尾部區域”的一種表達方式：學生 t 變量（的 $ n-2 $ 自由度）等於或超過檢驗統計量的大小， $ |t|. $
更一般地，對於數字 $ c_1, $ $ c_2, $ 和 $ \mu $ 您可以使用完全相同的方法來檢驗任何假設
$$ H_0: c_1 a + c_2 b = \mu $$
反對雙向選擇。（這包括“對比”的特殊但普遍的情況。）使用估計的方差-協方差矩陣 $ (c_{ij}) $ 估計方差 $ U = c_1 a + c_2 b $ 並形成統計量
$$ t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}. $$
上述情況是這樣的 $ (c_1,c_2) = (1,-1) $ 和 $ \mu=0. $
**為了檢查這個建議是否正確，**我運行了以下
R代碼來根據這個模型創建數據（帶有正態分佈的錯誤e），擬合它們，併計算 $ t $ 多次。檢查是概率圖 $ t $ （基於假設的學生 t 分佈）緊跟對角線。這是尺寸模擬中的情節 $ 500 $ 在哪裡 $ n=5 $ （一個非常小的數據集，選擇是因為 $ t $ 分佈遠非正常）和 $ a=b=-1/2. $
至少在這個例子中，該過程運行良好。 考慮使用參數重新運行模擬 $ a, $ $ b, $ $ \sigma $ （誤差標準差），和 $ n $ 反映你的情況。
這是代碼。
# # Specify the true parameters. # set.seed(17) a <- -1/2 b <- -1/2 sigma <- 0.25 # Variance of the errors n <- 5 # Sample size n.sim <- 500 # Simulation size # # Specify the hypothesis. # H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`. mu <- 0 # # Provide x and z values in terms of their logarithms. # log.x <- log(rexp(n)) log.z <- log(rexp(n)) # # Compute y without error. # y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z) # # Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic. # sim <- replicate(n.sim, { # # Add the errors. # e <- rnorm(n, 0, sigma) df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e) # # Guess the solution. # fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0)) start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat) # # Polish it using nonlinear least squares. # fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2])) # # Test a hypothesis. # cc <- vcov(fit) s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0)) (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s }) # # Display the simulation results. # summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim)))) qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, pch=21, bg="#00000010", col="#00000040", xlab="Student t reference value", ylab="Test statistic") abline(0:1, col="Red", lwd=2)
