具有二分變量的兩組的顯著性檢驗
我有一個 2x2 表，其中有兩組獨立的人在調查中回答是或否：
你能幫忙找到一個可以在這些數字上運行的測試，看看兩組之間是否存在統計顯著性（如果存在）？
BruceET 提供了一種分析此表的方法。對於 2 x 2 表有幾個測試，它們都是漸近等效的，這意味著如果有足夠的數據，所有測試都會給你相同的答案。我在這裡向他們展示 R 代碼以供後代使用。
在我的回答中，我將轉置表格，因為我發現將組作為列和結果作為行更容易。
那麼表是
我將此表的元素引用為
$ N $ 將是所有元素的總和 $ N = a+b+c+d $ .
卡方檢驗
也許對 2 x 2 表最常見的測試是卡方測試。粗略地說，卡方檢驗的原假設是每個組中回答“是”的人的比例相同，特別是在完全忽略組的情況下回答“是”的人的比例相同。
檢驗統計量為
$$ X^2_P = \dfrac{(ad-bc)^2N}{n_1n_2m_1m_2} \sim \chi^2_1 $$
這裡 $ n_i $ 是列總數和 $ m_i $ 是行總計。該檢驗統計量漸近分佈為具有一個自由度的卡方（因此得名）。
坦率地說，數學並不重要。大多數軟件包，如 R，很容易實現這個測試。
m = matrix(c(350,1250, 1700, 3800), nrow=2) chisq.test(m, correct = F) Pearson's Chi-squared test data: m X-squared = 49.257, df = 1, p-value = 2.246e-12這樣
correct=FR 實現了我編寫的測試，並且不應用對小樣本有用的連續性校正。這裡的 p 值非常小，因此我們可以得出結論，每個組中回答“是”的人的比例是不同的。比例測試
比例檢驗類似於卡方檢驗。讓 $ \pi_i $ 是在組中回答是的概率 $ i $ . 比例檢驗檢驗零 $ \pi_1 = \pi_2 $ .
簡而言之，該測試的測試統計量是
$$ z = \dfrac{p_1-p_2}{\sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}} \sim \mathcal{N}(0,1) $$
再次， $ n_i $ 是列總數和 $ p_1 = a/n_1 $ 和 $ p_2=b/n_2 $ . 該檢驗統計量具有標準正態漸近分佈。如果你的選擇是 $ p_1 \neq p_2 $ 那麼在大多數情況下，您希望此檢驗統計量的絕對值大於 1.96 以拒絕空值。
在 R 中
# Note that the n argument is the column sums prop.test(x=c(350, 1700), n=c(1600, 5500), correct = F) data: c(350, 1700) out of c(1600, 5500) X-squared = 49.257, df = 1, p-value = 2.246e-12 alternative hypothesis: two.sided 95 percent confidence interval: -0.11399399 -0.06668783 sample estimates: prop 1 prop 2 0.2187500 0.3090909請注意，
X-squared此檢驗輸出中的統計量與卡方檢驗相同。有一個很好的理由，我不會在這裡談論。另請注意，此檢驗提供了比例差異的置信區間，這是卡方檢驗的額外優勢。費雪精確檢驗
Fisher 對數量的精確檢驗條件 $ n_1 = a+c $ 和 $ m_1 = a + b $ . 這個測試的null是每組成功的概率是一樣的， $ \pi_1 = \pi_2 $ ，如比例檢驗。檢驗推導中的實際零假設是關於優勢比的，但現在這並不重要。
觀察提供的表格的確切概率是
$$ p = \dfrac{n_1! n_2! m_1! m_2!}{N! a! b! c! d!} $$
約翰拉欽寫道
因此，觀察到的表的概率可以被認為是由一組 $ N $ 誰的對象 $ m_1 $ 有積極的反應，與 $ a $ 這些是從 $ n_1 $ 第 1 組的受試者和 $ b $ 從其中 $ n_2 $ 第 2 組中的受試者（ $ a+b=m_1 $ , $ n_1 + n_2 = N $ ）。
重要的是，這不是 p 值。就是觀察這張表的概率。為了計算 p 值，我們需要總結觀察表的概率，這些表比這個更極端。
幸運的是，R 為我們做到了這一點
m = matrix(c(350,1250, 1700, 3800), nrow=2) fisher.test(m) Fisher's Exact Test for Count Data data: m p-value = 1.004e-12 alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.5470683 0.7149770 sample estimates: odds ratio 0.6259224請注意，結果是關於優勢比的，而不是關於每組中的概率。同樣值得注意的是，同樣來自拉欽，
Fisher-Irwin 精確檢驗被批評為過於保守，因為其他無條件檢驗已被證明產生較小的 p 值，因此更強大。
當數據很大時，這一點變得沒有意義，因為您可能有足夠的能力來檢測微小的影響，但這完全取決於您要測試的內容（就像它總是做的那樣）。
到目前為止，我們已經研究了對這類數據最流行的測試。以下測試等同於前兩個測試，但可能鮮為人知。為了完整起見，我在這裡介紹它們。
科克倫試驗
檢驗統計量為
$$ X^2_u = \dfrac{\dfrac{n_2a-n_1b}{N}}{\dfrac{n_1n_2m_1m_2}{N^3}} \sim \chi^2_1 $$
在 R 中
m = matrix(c(350,1250, 1700, 3800), nrow=2) a = 350 b = 1700 c = 1250 d = 3800 N = a+b+c+d n1 = a+c n2 = b+d m1 =a+b m2 =c+d X = ((n2*a-n1*b)/N)^2 /((n1*n2*m1*m2)/N^3) # Look familiar? X >>>49.25663 p.val = pchisq(X,1, lower.tail=F) p.val >>>[1] 2.245731e-12條件 Mantel-Haenszel (CMH) 測試
CMH 測試（我想我在其他地方看到過這稱為 Cochran Mantel-Haenszel 測試）是一種測試，它以第一列總計和第一行總計為條件。
檢驗統計量為
$$ X^2_c = \dfrac{\left( a - \dfrac{n_1m_1}{N} \right)^2}{\dfrac{n_1n_2m_1m_2}{N^2(N-1)}} \sim \chi^2_1 $$
在 R 中
a = 350 b = 1700 c = 1250 d = 3800 N = a+b+c+d n1 = a+c n2 = b+d m1 =a+b m2 =c+d top =( a - n1*m1/N)^2 bottom = (n1*n2*m1*m2)/(N^2*(N-1)) X = top/bottom X >>>49.24969 p.val = pchisq(X, 1, lower.tail = F) p.val >>> [1] 2.253687e-12似然比檢驗（LRT）（我個人最喜歡的）
LRT 比較了自由估計組比例的模型和僅估計單個比例的模型（與卡方檢驗不同）之間的對數似然差異。在我看來，這個測試有點矯枉過正，因為其他測試更簡單，但是為什麼不包括它呢？我個人喜歡它，因為測試統計數據非常令人滿意且易於記憶
和以前一樣，數學與我們的目的無關。檢驗統計量為
$$ X^2_G = 2 \log \left( \dfrac{a^a b^b c^c d^d N^N}{n_1^{n_1} n_2^{n_2} m_1^{m_1} m_2^{m_2}} \right) \sim \chi^2_1 $$
在 R 中使用一些應用代數來防止溢出
a = 350 b = 1700 c = 1250 d = 3800 N = a+b+c+d n1 = a+c n2 = b+d m1 =a+b m2 =c+d top = c(a,b,c,d,N) bottom = c(n1, n2, m1, m2) X = 2*log(exp(sum(top*log(top)) - sum(bottom*log(bottom)))) # Very close to other tests X >>>[1] 51.26845 p.val = pchisq(X, 1, lower.tail=F) p.val >>>1] 8.05601e-13請注意，LRT 和其他測試的測試統計數據存在差異。已經註意到，該檢驗統計量以比卡方檢驗統計量或 Cochran 檢驗統計量更慢的速度收斂到漸近卡方分佈。
我使用什麼測試
我的建議：比例測試。它等效於卡方檢驗*，並且*具有以下好處：a) 可直接根據風險差異進行解釋，b) 為這種差異提供置信區間（您應該始終報告）。
我沒有包括這些測試的理論動機，儘管理解這些並不是必要的，但在我自己看來很吸引人。
如果您想知道我從哪裡得到所有這些信息，John Lachin 的《生物統計學方法 - 相對風險評估》一書在第 2 章中花了很長時間向您解釋所有這些。