統計數據：Alpha 和 Beta 之間的關係
我的問題與 alpha 和 beta 之間的關係以及它們在統計中的定義有關。
alpha = I 型錯誤率 = 考慮 NULL 假設正確的顯著性水平
Beta = II 型錯誤率
如果 alpha 降低（特異性隨著 alpha = 1 - 特異性而增加），則 beta 增加（靈敏度/功效隨著 beta = 1 - 靈敏度/功效而降低）
alpha 的變化如何影響 beta ？ 是否存在線性關係？alpha/beta 的比率是否始終相同，換句話說，特異性/敏感性比率始終相同嗎？如果是，這意味著通過使用 bonferroni 校正，我們只是轉向更低的靈敏度和更高的特異性，但我們不會改變靈敏度/特異性比。這樣說對嗎？
更新（案例特定問題）：
對於給定的實驗設計，我們對數據運行 5 個線性模型。我們的真陽性率（靈敏度/功效）為 0.8，真陰性率（特異性）為 0.7。（讓我們想像一下，我們知道什麼應該是積極的，什麼不應該是積極的。）。如果我們現在使用 Bonferroni 將顯著性水平修正為 0.05 / 5 = 0.01。我們可以數值估計得到的真陽性率（靈敏度/功率）和真陰性率（特異性）嗎？
非常感謝你的幫助。
$ \alpha $ 和 $ \beta $ 有關係。我將嘗試通過診斷測試來說明這一點。假設您有一個測量血液標誌物水平的診斷測試。眾所周知，與健康人相比，患有某種疾病的人的這種標誌物水平較低。很明顯，您必須確定一個臨界值，低於該臨界值的人被歸類為“生病”，而高於該臨界值的人被認為是健康的。然而，即使在病人和健康人中，血液標誌物的分佈也很可能有很大差異。一些健康人的血液標誌物水平可能非常低，即使他們非常健康。一些病人即使患有疾病，血液標誌物的水平也很高。
有四種可能發生：
- 一個病人被正確識別為病人（真陽性 = TP）
- 病人被錯誤地歸類為健康人（假陰性 = FN）
- 一個健康的人被正確識別為健康（真陰性 = TN）
- 一個健康的人被錯誤地歸類為有病（假陽性 = FP）
這些可能性可以用2x2 表來說明：
Sick Healthy Test positive TP FP Test negative FN TN$ \alpha $ 表示誤報率，即 $ \alpha = FP/(FP + TN) $ . $ \beta $ 是假陰性率，即 $ \beta = FN/(TP + FN) $ . 我寫了一個簡單的
R腳本以圖形方式說明情況。alphabeta <- function(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=130, sd.healthy=10, cutoff=120, n=10000, side="below", do.plot=TRUE) { popsick <- rnorm(n, mean=mean.sick, sd=sd.sick) pophealthy <- rnorm(n, mean=mean.healthy, sd=sd.healthy) if ( side == "below" ) { truepos <- length(popsick[popsick <= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy <= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy > cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick > cutoff]) } else if ( side == "above" ) { truepos <- length(popsick[popsick >= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy >= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy < cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick < cutoff]) } twotable <- matrix(c(truepos, falsepos, falseneg, trueneg), 2, 2, byrow=T) rownames(twotable) <- c("Test positive", "Test negative") colnames(twotable) <- c("Sick", "Healthy") spec <- twotable[2, 2]/(twotable[2, 2] + twotable[1, 2]) alpha <- 1 - spec sens <- pow <- twotable[1, 1]/(twotable[1, 1] + twotable[2, 1]) beta <- 1 - sens pos.pred <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[1,2]) neg.pred <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[2,1]) if ( do.plot == TRUE ) { dsick <- density(popsick) dhealthy <- density(pophealthy) par(mar=c(5.5, 4, 0.5, 0.5)) plot(range(c(dsick$x, dhealthy$x)), range(c(c(dsick$y, dhealthy$y))), type = "n", xlab="", ylab="", axes=FALSE) box() axis(1, at=mean(pophealthy), lab=substitute(mu[H[0]]~paste("=", m, sep=""), list(m=mean.healthy)), cex.axis=1.5, tck=0.02) axis(1, at=mean(popsick), lab=substitute(mu[H[1]] ~ paste("=", m, sep=""), list(m=mean.sick)), cex.axis=1.5, tck=0.02) axis(1, at=cutoff, lab=substitute(italic(paste("Cutoff=", coff, sep="")), list(coff=cutoff)), pos=-0.004, tick=FALSE, cex.axis=1.25) lines(dhealthy, col = "steelblue", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x<=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x<=cutoff],0), col = "grey65") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x>=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x>=cutoff],0), col = "grey65") } lines(dsick, col = "red", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff, dsick$x[dsick$x>cutoff], cutoff), c(0, dsick$y[dsick$x>cutoff], 0) , col="grey90") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff, dsick$x[dsick$x<=cutoff], cutoff), c(0, dsick$y[dsick$x<=cutoff],0) , col="grey90") } legend("topleft", legend= (c(as.expression(substitute(alpha~paste("=", a), list(a=round(alpha,3)))), as.expression(substitute(beta~paste("=", b), list(b=round(beta,3)))))), fill=c("grey65", "grey90"), cex=1.2, bty="n") abline(v=mean(popsick), lty=3) abline(v=mean(pophealthy), lty=3) abline(v=cutoff, lty=1, lwd=1.5) abline(h=0) } #list(specificity=spec, sensitivity=sens, alpha=alpha, beta=beta, power=pow, positiv.predictive=pos.pred, negative.predictive=neg.pred) c(alpha, beta) }讓我們看一個例子。我們假設病人血液標誌物的平均水平為 100，標準差為 10。在健康人中，平均血液水平為 140，標準差為 15。臨床醫生將臨界值設置為 120。
alphabeta(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, cutoff=120, n=100000, do.plot=TRUE, side="below") Sick Healthy Test positive 9764 901 Test negative 236 9099
您會看到陰影區域彼此相關。在這種情況下， $ \alpha = 901/(901+ 9099) \approx 0.09 $ 和 $ \beta = 236/(236 + 9764)\approx 0.024 $ . 但是，如果臨床醫生以不同的方式設置截止值會怎樣？讓我們把它設置得低一點，到 105 看看會發生什麼。
Sick Healthy Test positive 6909 90 Test negative 3091 9910
我們的 $ \alpha $ 現在非常低，因為幾乎沒有健康人被診斷為生病。但是我們的 $ \beta $ 增加了，因為血液標誌物水平高的病人現在被錯誤地歸類為健康人。
最後，讓我們看看如何 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 更改不同的截止值：
cutoffs <- seq(0, 200, by=0.1) cutoff.grid <- expand.grid(cutoffs) plot.frame <- apply(cutoff.grid, MARGIN=1, FUN=alphabeta, mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, n=100000, do.plot=FALSE, side="below") plot(plot.frame[1,] ~ cutoffs, type="l", las=1, xlab="Cutoff value", ylab="Alpha/Beta", lwd=2, cex.axis=1.5, cex.lab=1.2) lines(plot.frame[2,]~cutoffs, col="steelblue", lty=2, lwd=2) legend("topleft", legend=c(expression(alpha), expression(beta)), lwd=c(2,2),lty=c(1,2), col=c("black", "steelblue"), bty="n", cex=1.2)
你可以立即看到比例 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 不是恆定的。同樣非常重要的是效果大小。在這種情況下，這將是病人和健康人血液標誌物水平平均值的差異。差異越大，兩組越容易被截斷分開：
在這裡，我們有一個“完美”的測試，因為 150 的截止值可以區分病人和健康人。
Bonferroni 調整
Bonferroni 調整減少了 $ \alpha $ 錯誤但誇大了第二類錯誤（ $ \beta $ ) . 這意味著做出錯誤否定決定的錯誤會增加，而錯誤肯定會最小化。這就是為什麼 Bonferroni 調整通常被稱為保守的原因。在上圖中，請注意如何 $ \beta $ 當我們將截止值從 120 降低到 105 時增加：它從 $ 0.02 $ 到 $ 0.31 $ . 同時， $ \alpha $ 從減少 $ 0.09 $ 到 $ 0.01 $ .
