為什麼無偏隨機遊走是非遍歷的？
維基百科說“無偏見的隨機遊走是非遍歷的”。
讓我們看一個簡單的隨機遊走。定義為：取獨立隨機變量 $ Z_{1},Z_{2} $ ，其中每個變量是 $ 1 $ 或者 $ −1, $ 任何一個值的概率為 50%，並設置 $ S_{0}=0,! $ 和 $ S_{n}=\sum {j=1}^{n}Z{j} $ .
如果我們計算（比方說）大小集合的平均平均值 $ N $ 這將是 $ (\sum {j=1}^{n}Z{j})/N $ 以及單個實現長度的平均值 $ N $ 將完全相同 $ (\sum {j=1}^{n}Z{j})/N. $
那麼，為什麼它是非遍歷的？
那篇維基百科文章寫道，
過程 $ X(t) $ 如果時間平均估計，則在第一時刻被稱為平均遍歷或均方遍歷$$ {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}X(t),\mathrm{d}t $$以平方均值收斂於整體平均值 $ \mu _{X} $ 作為 $ T\rightarrow \infty. $
問題是 $ \hat\mu $ 變得越來越多變 $ T $ 增加。 當 $ X(t) $ 是問題中描述的離散二項式隨機遊走，因為時間平均值是
$$ \hat\mu(X) = \frac{1}{T} \sum_{i=1}^T X(t) = \frac{1}{T} \sum_{i=1}^T \sum_{j=1}^i Z(i) = Z(1) + \frac{T-1}{T}Z(2) + \cdots + \frac{1}{T}Z(T). $$
請注意早期條款如何持續存在： $ Z(1) $ 以係數出現 $ 1 $ 和隨後的係數 $ Z(i) $ 收斂到 $ 1 $ 作為 $ T $ 成長。因此，它們對時間平均值的貢獻不會被平均化，因此時間平均值不能收斂到一個常數。
在維基百科文章的上下文和符號中，讓我們通過找到時間平均值的均值和方差來證明這個結果。
的期望 $ \hat{\mu}_X $ 是
$$ \mathbb{E}(\hat{\mu}_X) = {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbb{E}(X(t)),\mathrm{d}t = \frac{1}{T}\int_0^T 0, \mathrm{d}t = 0. $$
因此它的方差是它的平方的期望，
$$ \eqalign{ \operatorname{Var}(\hat{\mu}_X) &= \mathbb{E}\left(\hat{\mu}_X^2\right)\ &= \mathbb{E}\left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbb{E}(X(t)),\mathrm{d}t \ {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbb{E}(X(s)),\mathrm{d}s \right) \ &= \left(\frac {1}{T}\right)^2 \int_0^T \int_0^T \mathbb{E}(X(t)X(s)),\mathrm{d}t \mathrm{d}s \ &= \left(\frac {1}{T}\right)^2 \int_0^T \int_0^T \min(s,t),\mathrm{d}t \mathrm{d}s \ &= \left(\frac {1}{T}\right)^2 \int_0^T \left(\int_0^s t,\mathrm{d}t + \int_s^T s,\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}s \ &= \left(\frac {1}{T}\right)^2 \int_0^T \left(\frac{s^2}{2} + (T-s)s\right)\mathrm{d}s \ &= \left(\frac {1}{T}\right)^2 \frac{T^3}{3} \ &= \frac{T}{3}. } $$
因為這變得越來越大 $ T $ 成長， $ \hat\mu_X $ 不可能收斂到遍歷性定義所要求的常數——即使它的平均值為零。維基百科是從哪裡寫的（完全引用這段話），
無偏隨機遊走是非遍歷的。它的期望值始終為零，而其時間平均值是具有發散方差的隨機變量。