為什麼無偏隨機遊走是非遍歷的？
維基百科說“無偏見的隨機遊走是非遍歷的”。
讓我們看一個簡單的隨機遊走。定義為：取獨立隨機變量 Z1,Z2 ，其中每個變量是 1 或者 −1, 任何一個值的概率為 50%，並設置 S0=0,! 和 $ S_{n}=\sum {j=1}^{n}Z{j} $ .
如果我們計算（比方說）大小集合的平均平均值 N 這將是 $ (\sum {j=1}^{n}Z{j})/N 以及單個實現長度的平均值 N 將完全相同 (\sum {j=1}^{n}Z{j})/N. $
那麼，為什麼它是非遍歷的？
那篇維基百科文章寫道，
過程 X(t) 如果時間平均估計，則在第一時刻被稱為平均遍歷或均方遍歷ˆμX=1T∫T0X(t),dt
以平方均值收斂於整體平均值 μX 作為 T→∞.問題是 ˆμ 變得越來越多變 T 增加。 當 X(t) 是問題中描述的離散二項式隨機遊走，因為時間平均值是
ˆμ(X)=1TT∑i=1X(t)=1TT∑i=1i∑j=1Z(i)=Z(1)+T−1TZ(2)+⋯+1TZ(T).
請注意早期條款如何持續存在： Z(1) 以係數出現 1 和隨後的係數 Z(i) 收斂到 1 作為 T 成長。因此，它們對時間平均值的貢獻不會被平均化，因此時間平均值不能收斂到一個常數。
在維基百科文章的上下文和符號中，讓我們通過找到時間平均值的均值和方差來證明這個結果。
的期望 ˆμX 是
E(ˆμX)=1T∫T0E(X(t)),dt=1T∫T00,dt=0.
因此它的方差是它的平方的期望，
Var(ˆμX)=E(ˆμ2X) =E(1T∫T0E(X(t)),dt 1T∫T0E(X(s)),ds) =(1T)2∫T0∫T0E(X(t)X(s)),dtds =(1T)2∫T0∫T0min(s,t),dtds =(1T)2∫T0(∫s0t,dt+∫Tss,dt)ds =(1T)2∫T0(s22+(T−s)s)ds =(1T)2T33 =T3.
因為這變得越來越大 T 成長， ˆμX 不可能收斂到遍歷性定義所要求的常數——即使它的平均值為零。維基百科是從哪裡寫的（完全引用這段話），
無偏隨機遊走是非遍歷的。它的期望值始終為零，而其時間平均值是具有發散方差的隨機變量。