CDF的置信區間

我正在嘗試確定下圖中顯示的累積概率密度曲線之間是否存在統計學意義的區別。

做一個很簡單 $ t $ -測試這些分佈的均值。但我也想看看這種處理是否對密度分佈的更極端值有影響。例如，如果均值相同但第 85 個百分位數不同，那我會感興趣。

均值的 95% 置信區間大致為 $ \bar{x} \pm 1.95 \sigma_x $ . 但是在 CDF 的每個級別上使用相同的方差感覺並不正確，尤其是當經驗分佈在很大程度上是非正態的時。

您可以使用與 4 個組相對應的一組假人的同時分位數回歸來執行類似的操作。這允許您測試和構建置信區間，比較描述您關心的不同分位數的係數。

這是一個玩具示例，我們不能拒絕在所有 4 個 MPG 組中第 25、50 和 75 個四分位數的汽車價格都相等的聯合零值（p 值為 0.374）：

. sysuse auto, clear
(1978 Automobile Data)

. xtile mpg_quartile = mpg, nq(4)

. distplot price, over(mpg_quartile) legend(rows(1)) ylab(.25 .5 .75, angle(0) grid) xlab(#10, grid) ///
> plotregion(fcolor(white) lcolor(white)) graphregion(fcolor(white) lcolor(white))

. 
. sqreg price i.mpg_quart, quantile(.25 .5 .75) reps(500)
(fitting base model)

Bootstrap replications (500)
----+--- 1 ---+--- 2 ---+--- 3 ---+--- 4 ---+--- 5 
..................................................    50
..................................................   100
..................................................   150
..................................................   200
..................................................   250
..................................................   300
..................................................   350
..................................................   400
..................................................   450
..................................................   500

Simultaneous quantile regression                    Number of obs =         74
 bootstrap(500) SEs                                .25 Pseudo R2 =     0.0909
                                                   .50 Pseudo R2 =     0.1228
                                                   .75 Pseudo R2 =     0.2639

------------------------------------------------------------------------------
            |              Bootstrap
      price |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
q25          |
mpg_quartile |
         2  |      -1297   528.3106    -2.45   0.017    -2350.682   -243.3178
         3  |      -1192   447.9346    -2.66   0.010    -2085.377   -298.6225
         4  |      -1484   458.6527    -3.24   0.002    -2398.754   -569.2459
            |
      _cons |       5379   414.9198    12.96   0.000     4551.468    6206.532
-------------+----------------------------------------------------------------
q50          |
mpg_quartile |
         2  |      -1442   1253.755    -1.15   0.254    -3942.535    1058.535
         3  |      -1086   1414.436    -0.77   0.445    -3907.004    1735.004
         4  |      -1776   1232.862    -1.44   0.154    -4234.867    682.8667
            |
      _cons |       6165   1221.461     5.05   0.000     3728.873    8601.127
-------------+----------------------------------------------------------------
q75          |
mpg_quartile |
         2  |      -6213   1591.987    -3.90   0.000    -9388.118   -3037.882
         3  |      -4535   1847.591    -2.45   0.017    -8219.904   -850.0963
         4  |      -6796   1592.095    -4.27   0.000    -9971.334   -3620.666
            |
      _cons |      11385   1556.486     7.31   0.000     8280.686    14489.31
------------------------------------------------------------------------------

. test ///
> ([q25]2.mpg_quart=[q25]3.mpg_quart=[q25]4.mpg_quart) ///
> ([q50]2.mpg_quart=[q50]3.mpg_quart=[q50]4.mpg_quart) ///
> ([q75]2.mpg_quart=[q75]3.mpg_quart=[q75]4.mpg_quart)

( 1)  [q25]2.mpg_quartile - [q25]3.mpg_quartile = 0
( 2)  [q25]2.mpg_quartile - [q25]4.mpg_quartile = 0
( 3)  [q50]2.mpg_quartile - [q50]3.mpg_quartile = 0
( 4)  [q50]2.mpg_quartile - [q50]4.mpg_quartile = 0
( 5)  [q75]2.mpg_quartile - [q75]3.mpg_quartile = 0
( 6)  [q75]2.mpg_quartile - [q75]4.mpg_quartile = 0

      F(  6,    70) =    1.10
           Prob > F =    0.3740

ECDF 如下所示：

儘管對於圖中的 3 個分位數，第 1 組和第 2-4 組之間似乎存在很大差異。但是，這並不是很多數據，因此由於“微數”，無法通過正式測試拒絕可能並不令人驚訝。

有趣的是，Kruskal-Wallis 檢驗拒絕了 4 個組來自同一群體的假設：

. kwallis price , by(mpg_quartile)

Kruskal-Wallis equality-of-populations rank test

 +---------------------------+
 | mpg_qu~e | Obs | Rank Sum |
 |----------+-----+----------|
 |        1 |  27 |  1397.00 |
 |        2 |  11 |   286.00 |
 |        3 |  22 |   798.00 |
 |        4 |  14 |   294.00 |
 +---------------------------+

chi-squared =    23.297 with 3 d.f.
probability =     0.0001

chi-squared with ties =    23.297 with 3 d.f.
probability =     0.0001

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/441627