證明問題 - 為什麼指數平滑時間序列有偏差
我正在研究為什麼指數平滑是線性趨勢的有偏估計。
這本書試圖描述指數平滑時間序列的期望值。這是我無法遵循的這些步驟之一。
對於無限和，該書聲稱以下適用：
和
我想我理解的第一部分，這只是幾何和。當 t 趨於無窮大時，分子中的第二項趨於 0。
然而，第二個表達我不明白。
為什麼第二個表達式可以這樣寫，可以寫成的函數?
因為這是一個統計網站，讓我們開發一個純粹的統計解決方案。
問題中的第一個公式正確地觀察到
隱含假設. 對於實數, 這展作為一系列非負值的總和。這使我們可以將這些值視為概率。（這組特定的數字是幾何分佈。）
它們的概率是多少？考慮一個長而寬的矩形飛鏢靶。這eft 部分，覆蓋其中，是紅色的——這是你想打的——而右邊的部分，覆蓋了剩下的部分部分，是藍色的。你計劃在這個板上投擲飛鏢，直到有一個擊中紅色。
假設你是一個糟糕的飛鏢射手，只是勉強能確保飛鏢擊中板子，否則你無法控制它們落在板上的哪個位置。讓 ”“代表你投擲的次數*。*根據概率公理，任何序列獨立的隨機投擲飛鏢（每次投擲都具有相同的概率擊中飛鏢板的任何部分）幾次在藍色和最後在紅色有機會
發生的：這只是個人機會的產物，對於藍色和為紅色。這些概率與上述相同。根據定義，這樣一個序列中藍色命中數的期望是藍色命中概率加權計數的總和；以機智，
高達一個因素，這就是我們想要計算的。
大數的弱定律（直觀上是顯而易見的，並在 17 世紀後期由雅各布·伯努利首次證明）告訴我們，通過反復進行這個實驗，可以任意接近地實現期望，所以讓我們這樣做。投擲飛鏢，直到其中一個落在紅色中。讓是落在藍色的數字。讓成為第二次審判期間的藍色數字，依此類推，直到.
在圖中，它顯示了拔出飛鏢時留下的孔，試驗導致飛鏢被投擲，其中降落在藍色。
根據定義，這些試驗中藍色命中的平均數是
換句話說，它是落入藍色的飛鏢數量與落入紅色的飛鏢數量之比。但是由於飛鏢是隨機均勻落下的，在極限情況下，這個比例必須接近藍色和紅色區域的比例，即. 因此
兩邊除以給出答案！
這個問題也可能受益於一些基本的數學答案。 為此，請注意，無論何時， 該系列
絕對收斂。（它最終由一個公比小於的幾何級數支配.) 這意味著我們可以在用它進行算術運算時自由地重新排列它的項，如下面的計算所示：
如問題所述。因為,是非零的，所以我們可以將兩邊除以產生平等
QED。
另一種解決方案指出，對於積分,
回想一下二項式定理斷言，當和是任何數字，那麼
服用和給
