具有不確定性的多次測量的標準偏差
我有兩個 2 小時的 GPS 數據，採樣率為 1 Hz（7200 次測量）。數據以表格形式給出， 在哪裡是測量不確定度。
當我取所有測量值的平均值時（例如這兩個小時的平均 Z 值），它的標準偏差是多少？我當然可以從 Z 值計算標準偏差，但是我忽略了存在已知測量不確定性的事實……
編輯：數據都來自同一個站點，所有坐標每秒都會重新測量。由於衛星星座等原因，每次測量都有不同的不確定性。我分析的目的是找出由於外部事件（即地震）引起的位移。我想取地震前 7200 次測量（2 小時）的平均值和地震後 2 小時的另一個平均值，然後計算所得差異（例如高度）。為了指定這種差異的標準差，我需要知道這兩種方法的標準差。
我懷疑之前對這個問題的回答可能有點離題。在我看來，原始發帖人在這裡真正提出的問題可以改寫為“給定一系列矢量測量值：
和, 和測量協方差:如何正確計算這一系列矢量測量的協方差加權平均值，然後如何正確計算其標準差？ . 我特別喜歡的一個例子是 Frederick James，“實驗物理學中的統計方法”，第 2 版，World Scientific，2006 年，第 11.5.2 節，“結合獨立估計”，第 323-324 頁。另一個很好，但是Philip R. Bevington 和 D. Keith Robinson 描述了標量值的方差加權平均值計算（與上面介紹的全向量相反）的更多介紹性文本，“物理科學的數據縮減和錯誤分析"，第 3 版，McGraw-Hill，2003 年，第 4.1.x 節，“加權數據——非均勻不確定性”。因為發帖者的問題在這種情況下碰巧有一個對角化的協方差矩陣（即所有非對角元素都為零），所以問題實際上可分為三個單獨的（即 X、Y、Z）標量加權平均問題，所以貝文頓和羅賓遜的分析在這裡也同樣適用。 一般來說，在回答 stackexchange.com 的問題時，我通常認為重新打包之前已經在許多教科書中提出的長推導是沒有用的——如果你想真正理解材料，並理解為什麼答案看起來他們這樣做，那麼你真的應該去閱讀教科書作者已經發表的解釋。考慮到這一點，我將直接跳到重新陳述其他人已經提供的答案。從弗雷德里克詹姆斯，設置，加權平均值為：
加權平均值的協方差為： 這個答案是完全通用的，無論是什麼形式的都是有效的，即使對於非對角測量協方差矩陣。 由於在這種特殊情況下測量協方差是對角的，因此 Bevington 和 Robinson 分析也可用於計算個體的方差加權平均值,， 和. 標量答案的形式類似於向量答案的形式：
方差是或等效地， 同樣對於和. 此處提供了一個簡短的維基百科條目，它也為標量值案例得出了相同的答案。