來自 Hamilton 的 ARMA(p,q) 的狀態空間表示
我一直在閱讀漢密爾頓第 13 章，他對 ARMA(p,q) 有以下狀態空間表示。讓.那麼ARMA(p,q)過程如下：
然後，他將狀態方程定義如下：
觀測方程為：
我不明白是什麼在這種情況下。因為在他的 AR(p) 表示中它是在他的 MA (1) 表示中是.
有人可以更好地向我解釋一下嗎？
漢密爾頓表明這是本書中的正確表示，但這種方法可能看起來有點違反直覺。因此，讓我首先給出一個激發他的建模選擇的高級答案，然後詳細說明他的推導。
動機：
閱讀第 13 章應該會清楚，有很多方法可以編寫狀態空間形式的動態模型。因此，我們應該問漢密爾頓為什麼選擇這種特殊的表示。原因是這種表示保持狀態向量的維數很低。直覺上，你會認為（或者至少我會）認為 ARMA 的狀態向量（,) 至少需要維度. 畢竟，只是從觀察說，我們無法推斷出. 然而他表明，我們可以以一種巧妙的方式定義狀態空間表示，使狀態向量的維數最多為. 我猜，保持低狀態維度對於計算實現可能很重要。事實證明，他的狀態空間表示也很好地解釋了 ARMA 過程：未觀察到的狀態是 AR(), 而 MA() 部分是由於測量誤差而產生的。
推導：
現在進行推導。首先請注意，使用滯後運算符表示法，ARMA(p,q) 定義為：
我們讓為了， 和為了我們省略自從至少是. 所以我們需要證明的是他的狀態和觀察方程暗示了上面的方程。設狀態向量為
現在看看狀態方程。你可以檢查方程到只需移動條目到提前一期並丟棄在狀態向量中. 第一個方程，定義因此是相關的。寫出來：
由於第二個元素是第一個元素和第三個元素是第一個元素依此類推，我們可以重寫它，使用滯後運算符符號並將滯後多項式移動到左側（H. 中的方程 13.1.24）：
因此隱藏狀態遵循自回歸過程。同樣，觀測方程為
或者
到目前為止，這看起來不太像 ARMA，但現在是很好的部分：將最後一個方程乘以:
但是從狀態方程（滯後一個週期），我們有！所以上面等價於
這正是我們需要展示的！所以狀態觀測系統正確地表示了 ARMA(p,q)。我真的只是在解釋漢密爾頓，但我希望這無論如何都是有用的。