自相關測試：Ljung-Box 與 Breusch-Godfrey
我習慣於看到 Ljung-Box 測試經常用於測試原始數據或模型殘差中的自相關。我幾乎忘記了自相關還有另一種檢驗，即 Breusch-Godfrey 檢驗。
問題： Ljung-Box 測試和 Breusch-Godfrey 測試的主要區別和相似之處是什麼？什麼時候應該優先考慮其中一個？
（歡迎參考。不知何故，雖然我查了幾本教科書並在網上搜索了資料，但我無法找到這兩個測試的任何比較。我能夠分別找到每個測試的描述，但我感興趣的是兩者的比較。）
計量經濟學界有一些強烈的聲音反對Ljung-Box 的有效性-基於自回歸模型的殘差（即回歸矩陣中具有滯後因變量）測試自相關的統計量，特別參見Maddala（2001）“計量經濟學導論（3d 版），第 6.7 章和第 13 章。5 p 528 . Maddala 從字面上對這個測試的廣泛使用感到遺憾，並認為適當的“朗朗日乘數”測試是 Breusch 和 Godfrey。
Maddala 反對 Ljung-Box 檢驗的論點與反對另一種無所不在的自相關檢驗“Durbin-Watson”的論點相同：回歸矩陣中存在滯後因變量，該檢驗偏向於維持原假設“無自相關”（@javlacalle 答案中獲得的蒙特卡洛結果暗示了這一事實）。Maddala 還提到了測試的低功效，例如參見**Davies, N., & Newbold, P. (1979)。時間序列模型規範的portmanteau測試的一些功率研究。生物計量學，66（1），153-155。**
林（2000）， ch。2.10“序列相關性測試”，提出了一個統一的理論分析，我相信，澄清了這個問題。Hayashi 從零開始：為了 Ljung-Box-statistic 要漸近分佈為卡方，則必須是過程（任何表示），我們輸入統計量的樣本自相關是，在無自相關的原假設下，一個鞅差序列，即它滿足
並且它還表現出“自己的”條件同方差性
在這些條件下，Ljung-Box-statistic（這是原始 Box-Pierce 的有限樣本校正變體-statistic)，具有漸近卡方分佈，並且它的使用具有漸近證明。
現在假設我們已經指定了一個自回歸模型（除了滯後因變量之外，它可能還包括獨立回歸變量），比如說
在哪裡是滯後算子中的多項式，我們想通過使用估計的殘差來測試序列相關性。所以在這裡.
Hayashi 表明為了獲得 Ljung-Box-基於殘差的樣本自相關的統計量，要在無自相關的原假設下具有漸近卡方分佈，必須是所有回歸量在以下意義上對誤差項**“嚴格外生”的情況：**
“為所有人 " 是這裡的關鍵要求，它反映了嚴格的外生性。***當回歸矩陣中存在滯後因變量時，它不成立。***這很容易看出：接著
即使的獨立於誤差項，即使誤差項沒有自相關：不為零。
但這證明了 Ljung-Box統計量在自回歸模型中無效，因為不能說它在零值下具有漸近卡方分佈。
現在假設滿足比嚴格外生性更弱的條件，即
這種條件的強度是“介於”嚴格的外生性和正交性之間。在誤差項沒有自相關的空值下，這個條件由自回歸模型“自動”滿足，相對於滯後因變量（對於’當然必須單獨假設）。
然後，存在另一個基於殘差樣本自相關的統計量（不是Ljung-Box 的），它在零值下確實具有漸近卡方分佈。為方便起見，可以使用“輔助回歸”路線計算其他統計量：回歸殘差在完整的回歸矩陣和過去的殘差上（直到我們在規範中使用的滯後），獲得未居中的 從這個輔助回歸中乘以樣本量。
該統計數據用於我們所說的“序列相關的 Breusch-Godfrey 檢驗”。
看來，當回歸變量包括滯後因變量時（在所有自回歸模型的情況下也是如此），應該放棄Ljung-Box 檢驗以支持 Breusch-Godfrey LM 檢驗。，不是因為“它表現更差”，而是因為它不具備漸近證明。相當令人印象深刻的結果，特別是從前者無處不在的存在和應用來看。
**更新：回應評論中提出的關於上述所有內容是否也適用於“純”時間序列模型的疑問（即沒有“"-regressors)，我在https://stats.stackexchange.com/a/205262/28746**中發布了對 AR(1) 模型的詳細檢查。