時間序列分析：既然波動率取決於時間，為什麼收益是平穩的？

我運行 Dickey Fuller 測試以了解股票收益是否是固定的。我知道無論我買哪隻股票，他的回報都是固定的。我不知道為什麼我會得到這個結果，因為很明顯波動率取決於時間（因此，收益不是固定的，因為它們的方差取決於時間）。我想得到一個數學和直觀的答案。

我認為您的問題是您混淆了無條件方差和條件方差。事實上，你可以有一個隨時間變化的條件波動，但有一個恆定的無條件方差。

首先，我說明了 Dickey-Fuller 所做的以及為什麼它是一個非常具體的測試。其次，我解釋了為什麼你可以有一個隨時間變化的條件波動，但有一個恆定的無條件方差。

首先，考慮框架：

在哪裡為了.

如果你計算期望和（無條件）方差， 你得到

和

Dickey-Fuller 測試執行對比.

如果， 然後，這意味著無條件方差隨時間線性增加。

如果它小於 1，則由於其表達式的幾何級數，無條件方差隨時間趨於恆定。如果和,這意味著它是協方差平穩的。

這就是為什麼如果 DF 檢驗拒絕 H0，與協方差-平穩假設相比，您不能接受無條件方差隨時間線性增加的原因，而它只涉及一種特定形式的非平穩性。

其次，考慮以下過程（ARCH(1)）：

和

在哪裡和,,獨立於.

在這裡，您可以看到波動率參數取決於時間。然而，這個參數是方差有條件地以我們當時得到的信息為準. 實際上，無條件方差是：

如果是協方差平穩的，這意味著什麼：

所以，可以是協方差平穩的，同時在本地顯示一些波動性集群。

為了進一步思考，您可以查看這篇論文，該論文提出了一個框架來測試無條件方差是否為常數：Sansó, A., Aragó, V. 和 Carrion-i-Silvestre, J. Ll。(2004)：“測試金融時間序列無條件方差的變化”。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/195151