什麼保證了 Wold 分解的有限表示的存在？力學與直覺
每個協方差平穩過程都可以寫成線性的、無限分佈的白噪聲滯後。換句話說，每個協方差平穩過程都有一個 Wold 表示。然後我們繼續說，這種無限分佈的白噪聲滯後總是可以用 2 個有限階滯後多項式的比率來近似。換句話說，對於每個 Wold 表示（無限），都有一個近似值（有限）。很難高估這種近似存在的重要性，因為沒有它就沒有 ARMA 建模，這是線性時間序列建模的核心，然而我看過的每一本教科書都只提到了這樣一個一句話的近似，彷彿這是不言而喻的事實。
(1) 為什麼無限 Wold 表示總是可以用兩個有限階多項式的比率來近似？是什麼保證了這種近似的存在？(2) 這個近似值有多好？在某些情況下，近似值是否比在其他情況下更好？
實際上，如果不對 Wold 表示中的傳遞函數的形式做一些進一步的假設，我不認為它總是可以用有限階多項式的比率很好地近似。對於協方差平穩過程，有一些時間序列模型類別，其中這種近似不被認為是足夠的——例如，在處理一些“長記憶”過程時。
通過譜密度分析：為了深入了解時間序列分析的這一方面，查看協方差平穩過程的譜密度很有用。這是相當自然的，因為它使我們能夠看到頻率空間中的過程。考慮協方差平穩過程 $ { X_t | t \in \mathbb{Z} } $ ，這意味著它的前兩個時刻具有以下形式：
$$ \mathbb{E}(X_t) = \mu \quad \quad \quad \mathbb{Cov}(X_{t+r}, X_{t}) = \gamma(r), $$
在哪裡 $ \gamma $ 稱為傳遞函數。如果該過程具有絕對連續的光譜密度，那麼我們可以將其寫為：
$$ f(\delta) = \frac{1}{2 \pi} \sum_{r \in \mathbb{Z}} \gamma(r) e^{2 \pi i r \delta}. $$
這個函數是周期性的，我們可以在奈奎斯特範圍內檢查它 $ \tfrac{1}{2} \leqslant \delta \leqslant \tfrac{1}{2} $ ，它給出了一個完整的周期。現在，在標準 ARMA 表示下 $ \phi(B) X_t = \theta(B) \varepsilon_t $ 和 $ \sigma^2 = \mathbb{V}(\varepsilon_t) $ （這導致兩個有限多項式的比率 $ \text{MA}(\infty) $ 表示）我們得到譜密度：
$$ f(\delta) = \frac{\sigma^2}{2 \pi} \bigg| \frac{\theta(e^{2 \pi i r \delta})}{\phi(e^{2 \pi i r \delta})} \bigg|^2. $$
特別是，在零頻率下，我們得到：
$$ f(0) = \frac{\sigma^2}{2 \pi} \bigg| \frac{\theta(1)}{\phi(1)} \bigg|^2. $$
對於許多協方差平穩過程，這種形式非常接近真實的光譜密度。但是，某些類型的協方差平穩時間序列不能很好地用這種形式逼近。影響這一點的具體因素是尾部傳遞函數的衰減率（例如指數衰減、冪律衰減等）以及時間序列過程是“短記憶”還是“長記憶”。
ARMA 表示不是特別好的近似值的一種特定情況是時間序列過程具有“長記憶”。這種現像是由光譜特性定義的 $ f(0)=\infty $ ，這意味著傳遞函數具有發散和 $ \sum_{r \in \mathbb{Z}} \gamma(r) = \infty $ . 此屬性無法在標準 ARMA 形式中實現，因為 $ |\theta(1)| \leqslant \sum_i |\theta_i| < \infty $ 和 $ |\phi(1)|>0 $ .
為什麼無限 Wold 表示總是可以通過兩個有限階多項式的比率來近似？
除非你對近似值施加一些精度要求或收斂條件，否則任何東西都可以用任何東西來近似。所以問題真的變成了，在什麼條件下，我們可以用 ARMA 模型逼近 Wold 表示並且仍然獲得良好的逼近屬性（例如，收斂性、有限階模型的任意精度等）？我將在您隨後的問題中解決這個問題。
是什麼保證了這種近似的存在？
Wold 表示中傳遞函數的某些一般形式可以表示為冪級數，該冪級數可以通過有限有理函數（即兩個有限多項式的比率）近似到任意精度。這是實數/複數分析中的一個廣泛主題，我建議您回到基礎並查看函數的泰勒級數表示的一般主題，以及全純/解析函數的類。您將看到某些令人討厭的函數類別（例如，週期函數）不能被多項式很好地逼近，而其他函數不能被有限多項式的比率很好地逼近。
如前所述，如果不對傳遞函數的形式做一些進一步的假設，我不認為它總是可以通過有限階多項式的比率很好地近似。在某些類型的協方差平穩時間序列過程中，傳遞函數是“討厭的”並且不能很好地被 ARMA 形式逼近。這種情況的一個具體情況是“長記憶”進程。
這裡的另一個答案指出，任何亞純函數都可以通過有限有理函數（即兩個有限多項式的比率）很好地逼近。這是真的，但它只是將問題向後推了一步：Wold 表示中的傳遞函數在什麼條件下會產生亞純冪級數？
這個近似值有多好？在某些情況下，近似值是否比在其他情況下更好？
在某些情況下，通過 ARMA 模型進行近似肯定比其他情況更好。ARMA 模型可以很好地逼近大多數“短內存”進程，但它們並不擅長逼近“長內存”進程。更一般的問題是，近似值有多好，足以填滿整本書——答案將取決於 Wold 表示中傳遞函數的性質，以及如何衡量近似值的“優度”。