什麼是長期方差？
如何定義時間序列分析領域的長期方差？
我知道在數據中存在相關結構的情況下使用它。所以我們的隨機過程不會是一個家庭iid 隨機變量，而只是同分佈？
我可以有一個標準的參考來介紹這個概念及其估計所涉及的困難嗎？
它是當存在序列相關性時樣本均值的標準誤差的量度。
如果 $ Y_t $ 協方差是平穩的 $ E(Y_t)=\mu $ 和 $ Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j $ （在 iid 設置中，這個數量為零！）這樣 $ \sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty $ . 然後 $$ \lim_{T\to\infty}{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}T- \mu)]}=\lim{T\to\infty}{TE(\bar{Y}T- \mu)^2}=\sum{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j, $$ 其中第一個相等是定義性的，第二個更難以建立，第三個是平穩性的結果，這意味著 $ \gamma_j=\gamma_{-j} $ .
所以問題確實是缺乏獨立性。為了更清楚地看到這一點，將樣本均值的方差寫為 $$ \begin{align*} E(\bar{Y}T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\ &=1/T^2E[{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)}\ &\quad{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)}]\ &=1/T^2{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]} \end{align*} $$
估計長期方差的一個問題是，我們當然不會觀察到有限數據的所有自協方差。內核（在計量經濟學中，“Newey-West”或 HAC 估計器）用於此目的，
$$ \hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}0+2\sum{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j $$ $ k $ 是核函數或加權函數， $ \hat\gamma_j $ 是樣本自協方差。 $ k $ , 其中必須是對稱的並且有 $ k(0)=1 $ . $ \ell_T $ 是帶寬參數。
一個流行的內核是 Bartlett 內核 $$ k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases} $$ 好的教科書參考資料是Hamilton、Time Series Analysis或Fuller。Newey and West, Econometrica 1987是一篇具有開創性（但技術性）的期刊文章。