使用哪個“意思”以及何時使用？
所以我們有算術平均數（AM）、幾何平均數（GM）和調和平均數（HM）。他們的數學公式以及相關的典型例子（例如，諧波平均值及其在“速度”相關問題中的應用）也是眾所周知的。
然而，一個一直讓我感興趣的問題是“我如何決定在給定的上下文中使用哪種方法最合適？” 必須至少有一些經驗法則來幫助理解適用性，但我遇到的最常見的答案是：“這取決於”（但取決於什麼？）。
這似乎是一個相當微不足道的問題，但即使是高中課本也無法解釋這一點——它們只提供數學定義！
我更喜歡英語解釋而不是數學解釋——簡單的測試是“你的媽媽/孩子能理解嗎？”
這個答案可能比你想要的更偏向於數學。
重要的是要認識到，所有這些手段只是變相的算術平均值。
確定三種常用方法（算術、幾何或諧波）中哪一種（如果有的話！）是“正確”均值的重要特徵是在手頭的問題中找到“加法結構”。
換句話說，假設我們得到了一些抽象的量，我將其稱為“測量”，為了保持一致性，在下面有點濫用這個術語。這三個方法中的每一個都可以通過 (1) 變換每個進入一些, (2) 取算術平均值，然後 (3) 轉換回原來的測量尺度。
算術平均值：顯然，我們使用“恆等”轉換：. 因此，步驟 (1) 和 (3) 是微不足道的（什麼都不做）並且.
幾何平均值：這裡的加法結構是原始觀測值的對數。所以，我們取然後為了在步驟 (3) 中得到 GM，我們通過， IE，.
調和平均值：這裡的加法結構是我們觀察的倒數。所以，, 從何而來.
在物理問題中，這些通常通過以下過程出現：我們有一些數量相對於我們的測量值保持不變和其他一些數量，比如說. 現在，我們玩以下游戲：保持和不斷嘗試找到一些這樣，如果我們替換每個單獨的觀察經過，那麼“總”關係仍然是守恆的。
距離-速度-時間的例子似乎很流行，所以讓我們使用它。
恆定的距離，不同的時間
考慮固定的行駛距離. 現在假設我們走過這段距離不同時間的速度, 花費時間. 我們現在玩我們的遊戲。假設我們想用某個固定的速度替換我們各自的速度使得總時間保持不變。請注意，我們有
以便. 當我們替換每個經過在我們的遊戲中。因此，
並且由於每個，我們明白了
請注意，這裡的“加性結構”是關於各個時間的，我們的測量值與它們成反比，因此適用調和平均值。
變化的距離，不變的時間
現在，讓我們改變現狀。假設對於我們旅行固定時間的例子以速度遠距離. 現在，我們想要總距離守恆。我們有
並且整個系統是守恆的，如果. 再次玩我們的遊戲，我們尋求一個這樣
但是由於，我們明白了
在這裡，我們試圖保持的加法結構與我們擁有的測量值成正比，因此適用算術平均值。
等體積立方體
假設我們構建了一個給定體積的維盒子我們的測量值是盒子的邊長。然後
假設我們想要構建一個具有相同體積的維（超）立方體。也就是說，我們要替換我們各自的邊長由一個共同的邊長. 然後
這很容易表明我們應該採取.
請注意，加法結構是對數，即並且我們正在嘗試保留左側數量。
舊有新手段
作為練習，考慮在第一個示例中讓距離和時間都變化的情況下，“自然”的含義是什麼。也就是說，我們有距離, 速度和時代. 我們想保存總的距離和時間，並找到一個常數為達到這個。
練習：在這種情況下，“自然”是什麼意思？