從指數分佈的矩生成函數計算方差

我想知道如何獲得exp的方差。使用矩生成函數計算的原始方差的分佈。這是我的推理路線：

指數分佈的 PDF 是

pX(x)=λ⋅e−λx

為了 x>0 ， 和 0 為了 x≤0 .

推導 MGF：

MX(t)=E[etX]definition =∫∞−∞x⋅pX(x)dxjust definition of expectation =∫∞−∞etx⋅λe−λxdxLOTUS =∫∞0etx⋅λe−λxdxsince x>0 =λ∫∞0etx⋅e−λxdxthe constant multiple rule =λ∫∞0etx−λxdx =λ∫∞0ex(t−λ)dx =λ⋅1λ−tclosed form solution for t<λ =λλ−t✓ Wikipedia check

通過推導 MGF 獲得指數分佈的矩 MX(t)=λλ−t

第一時刻（期待）

M(1)X(t)=∂∂t(λλ−t)=λ(λ−t)2

• 並評估為 t=0 ：

λ(λ−t)2|t=0=λλ2=1λ✓ Wikipedia check

第二時刻

M(2)X(t)=∂2∂2t(λλ−t)=2λ(λ−t)3

2λ(λ−t)3|t=0=2λ2

所以這是原始方差，而不是實際方差 1λ2 … 如何到那？

M(2)X(0) 不是方差，而是 E(X2) . 所以方差可以通過 Var(X)=E(X2)−E(X)2=M(2)X(0)−[M(1)X(0)]2=1λ2

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/494173