Variance
方差的線性
我認為以下兩個公式是正確的：
而 a 是一個常數 如果,是獨立的 但是，我不確定以下內容有什麼問題：
不等於， IE. 如果假設是從人群中抽取的樣本，我認為我們總是可以假設獨立於他人s。
那麼我的困惑有什麼問題呢？
你推理的問題是
“我認為我們總是可以假設獨立於他人s。”
不獨立於. 符號在這裡用來指代相同的隨機變量。一旦你知道第一個的價值出現在您的公式中，這也固定了第二個的值出現。如果您希望它們引用不同的（並且可能是獨立的）隨機變量，則需要用不同的字母表示它們（例如和）或使用下標（例如和); 後者通常（但不總是）用於表示來自同一分佈的變量。
如果兩個變量和那麼獨立是相同的: 知道價值沒有給我們任何關於價值的額外信息. 但是如果和否則：知道的價值為您提供有關價值的完整信息. [您可以用累積分佈函數或在適當的情況下用概率密度函數替換本段中的概率，以達到基本相同的效果。]
另一種看待事物的方式是，如果兩個變量是獨立的，那麼它們的相關性為零（儘管零相關性並不意味著獨立！）但是與自身完全相關，所以不能獨立於自己。請注意，由於協方差由下式給出， 然後
兩個隨機變量之和的方差的更一般公式是
特別是，， 所以
這與您從應用規則中推斷出的相同
如果您對線性感興趣，那麼您可能對協方差的*雙線性*感興趣。對於隨機變量,,和（無論是獨立的還是獨立的）和常數,,和我們有
總的來說，
然後，您可以使用它來證明您在帖子中寫的方差的（非線性）結果：
後者給出，作為一種特殊情況，當,
什麼時候和是不相關的（包括它們獨立的情況），那麼這減少到. 因此，如果您想以“線性”方式操縱方差（這通常是代數工作的好方法），那麼請改用協方差，並利用它們的雙線性。